左撇子應選哪項運動？

多謝國際奧委會及香港政府在三家電視台中間斡旋，我們能夠每晚通宵觀賞奧運。觀賞賽事時，大家不妨留意一下，哪些項目特別多左撇子？我沒有統計，但經驗告訴我，乒乓球、羽毛球、網球很多左撇子，不是左撇子特別有天份，而是正如小時候爸爸對我說：「左撇子打球很着數，他們見慣右撇子，但右撇子很少碰見左撇子。」一語道破，爸爸真是有智慧。

當時未知的是，爸爸一句說話扼要地概括了進化學一個重要概念，就是某種特徵的價值隨着其頻率下降而提升，故此種特徵很難在人口中消失，因為它愈罕見便愈有優勢，網球比賽的左撇子便是一例。左撇子約佔人口十分之一，在單對單要用球拍的比賽較右撇子佔優，應是不爭的事實。

翻查香港出戰奧運名單，參加的單對單對抗性項目包括乒乓球、羽毛球、劍擊、柔道，前三者左撇子顯然有優勢，至於柔道，門外漢很難分出台上選手究竟是左或右撇子，但我相信左撇子還是有優勢。（職業拳手左撇子比例較平均人口高，說明左撇子打拳有優勢，同樣道理應該適用於柔道吧。）

想像史前時期，兩個原始人為爭食物而打鬥，左撇子勝算較高是肯定的。人類進化大部分在史前時期，想像生命就是一連串你死我活的零和打鬥，經過一代又一代的汰弱留強，左撇子終會主宰大局，全人類都變成左撇子，對嗎？不對，當左撇子超過一半，那種「物以罕為貴」的優勢便拱手讓給右撇子，那時右撇子「反攻」，人口的左／右比例膠着在50/50，誰也佔不到誰的便宜。如果生命像是一連串你死我活的零和打鬥，左右撇子應各佔人口的一半。

然而，左右撇子並非各佔人口的一半，零和打鬥以外，生命還有其他決定生存的因素。人類以複雜的社會架構見稱，個體生存有賴群體協助，簡單來說即是別人需要我們的合作，我們也需要別人的合作。合作多了，一些習俗、標準便會形成，這些習俗、標準往往有利於多數，不利於少數。文字是一種標準，世上多數文字都是方便右撇子書寫的，教寫字的方法也是以右手為依歸。鋼琴琴鍵右邊高音，左邊低音，主旋律通常在高音，是否方便右撇子彈琴？學打高爾夫球，右手用球桿比比皆是，左手用的或要到專門店搜購，找個左撇子教練更是難上加難。如果家裏有左撇子，而父母又是傳統一輩，那便一定有人被逼用右手揸筷子的故事。

不難想像，生活在一個充滿習俗、標準的社會（亦即人類社會），左撇子是處於劣勢的。某些硏究顯示，左撇子死於意外的機會較高，就是證明。

左撇子既有「物以罕為貴」的優勢，它不會消失，又有那種「格格不入」的劣勢，永遠只屬少數。最近一篇硏究就是利用這種一加一減的互動，創作了一個數學模型來解釋左右撇子在平均人口的比例，更把模型應用於多種體育項目，嘗試預測各項目職業運動員的左撇子比例，結果與實況非常相近。當然，該模型只能解釋為什麼其中一種撇子佔人口大多數，不能解釋為什麼右撇子勝出而非左撇子。這條更加基本的問題，恐怕永遠沒有答案。

我再翻看香港出戰奧運名單，以上提過四項之外，還有參加單車、體操、賽艇、風帆、舉重、游泳、田徑、射箭、射擊，九項之中，應該沒有左撇子優勢。問題是，有沒有左撇子劣勢？規例中的某些標準會否無意中「歧視」左撇子，例如田徑跑道向左彎，是否方便了右撇子？體操那些凌空轉身三周半，評判會否看不慣左轉呢，教練懂不懂教左撇子凌空左轉，還是強逼運動員全部向右轉？射箭和射擊的器械有沒有左右之分，有的話，左手用器械很難買嗎？

某些體育項目，左撇子優勢十分明顯。至於左撇子劣勢，可能更普及，不過很難察覺，更沒人理會吧了。

（2012 年 7 月 28 日 信報副刋）

學術參考：
Daniel M. Abrams, Mark J. Panaggio (2012), “A model balancing cooperation and competition can explain our righthanded world and the dominance of left-handed athletes,” J. R. Soc. Interface published online 25 April 2012. doi:10.1098/rsif.2012.0211

教你創作信用卡號碼

此信用卡號碼純屬虛構，如有雷同，請自行善後。

4921 1101 1234 5678

是不是一個正確的信用卡號碼？不需問銀行，可自行驗證。

每張信用卡最尾一位數字，其實是個「保險碼」（check digit），與前面十五位數字有些特定關係，不能亂作。這是一種防錯措施，萬一用戶打錯或說錯某些數字，破壞了保險碼跟前面十五位數字的應有關係，電腦能夠立即察覺。保險碼怎樣計算？上述信用卡的保險碼（8）正確嗎？

第一步：由左起，第一位數字乘二，第三位數字乘二，第五位數字乘二……總之單位數字便乘二；
第二步：逐個 digit 加起來（十或以上之數應拆開為兩個單位數，然後相加），以上述號碼為例：(8)+9+(4)+1+(2)+1+(0)+1+(2)+2+(6)+4+(1+0)+6+(1+4) = 52；
第三步：52 + ? = 10 的倍數，答案是 8 －－ 這就是保險碼。

所以，上述信用卡號碼是「成立」的，有可能出現的；有沒有銀行發這個號碼，有沒有人願意用這個號碼，則另作別論。

我願意用這個號碼。假設我問你借錢，把信用卡號碼電郵給你；為了防止中途被人偷看，我用預先跟你約定的密碼加密，使郵件內容變成一堆外人不知所云的「垃圾」：&%AG%$@#^?*><!~#*F&W%

你收到電郵，用我們預先約定的密碼解密，得回號碼：4921 0111 1234 5678。核實保險碼無誤，你存錢入戶口，暗嘆倒霉，決定這是最後一次借錢給我。

幾天後，我致電給你，說我收不到錢。你火冒三丈，罵我騙子，我罵你無口齒無義氣，你我從此絕交。

我在說謊嗎？錢去了哪裏？

細心的讀者會發覺，解密後的信用卡號碼其實是錯的，「0」和「1」換了位置，不是雙方誤會了密碼，而是電郵傳送途中，有人惡作劇竄改了郵件；他們雖然不知道密碼，未能偷看內容，但可以對訊息「加鹽加醋」，不知改了什麼，總之是改了。給竄改過的地方，恰好解密後調換了「0」和「1」，更湊巧的是，這樣調換並不影響保險碼，保險碼仍然是「8」，整個號碼還是「成立」的，收件人不虞有詐。

由此可見，保險碼雖有某程度的防錯功能，但絕非滴水不漏；它實在太容易「撞」，任何十五位數字不難得出同一保險碼；知道保險碼，亦不難推敲多個「成立」的信用卡號碼；因此，網上購物的時候，除了提供信用卡號碼，還需填寫卡主姓名、到期日等額外資料，因為保險碼實在不夠「保險」，防錯防冒的功能實在太弱。

上面的故事還有另一個教訓，網絡上傳送敏感資料，加密是不足夠的，還需一些方法確保訊息不曾被竄改。我們不妨把保險碼的概念擴闊，看看互聯網怎樣做。

信用卡前十五位數字可視為企圖傳達的內容，實際上可以是一句說話、一個檔案、一幀照片、一齣電影、一首歌，任何你想傳達的資訊。緊隨其後的保險碼可視為一段「撮要」，根據前面的資訊「消化」而來的；為了保障溝通的安全性，「消化」過程必須符合幾個條件：（一）無法從「撮要」推敲原來訊息；（二）很難創作另一條「消化」出同一「撮要」的訊息；（三）不同訊息「消化」出同一「撮要」的機會微乎其微。（信用卡保險碼其實是「撮要」的一種，其計算過程就是一種「消化」，只不過三個條件都不符合，是一種非常不安全的「消化」程序，不能用於傳遞敏感訊息。）

互聯網興起十多年，網上交易早已十分蓬勃，一個安全的「消化」程序是不可或缺的。現時的「消化」程序仍然穩固，但網絡安全就像說話人和竊聽者的軍備競賽，必須時刻未雨綢繆，否則一被破解便手足無措。美國 NIST（National Institute of Standards and Technology）為此舉辦了一個比賽，徵集下一代的「消化」程式；參賽程式經過世界各地專家「評頭品足」和幾輪淘汰，現在餘下五個方案。就在香港特首選舉投票之前的週四和週五，美國首都華盛頓舉行了一次會議，商討它們的優劣，得勝者將在今年稍後公布，並會成為下一代「消化」程式的標準。

（2012 年 3 月 31 日 信報副刋）

∞ + ∞ + ∞ = ∞

１＋１＝２，這是我學的第一條算術。

１＋１＝３，這叫 synergy，受投資者和 CEO 膜拜，其實計錯數。

１＋１＋……（共一千二百個「１」）……＋１＝１，這叫小圈子選舉，一千二百票選出一個特首，一看便知計錯數，我們無奈接受。

１＋１＋……（共七百萬個「１」）……＋１＝１，這叫一人一票普選，七百萬人選出一個特首，多數市民趨之若鶩，可是建制派說港人全部計錯數，我們無話可說。要「循序漸進」，要等「時機成熟」，可能就是等建制派把「＋」號扭轉四十五度變「×」號，確保計啱數，萬無一失。當「＋」號變了「×」號之日，建制派又可以說，小圈子選舉那條數跟普選這條數同樣正確，為什麼要變？我們啞口無言。

自從踏出學校，走進社會，我已很久未見過一條 make sense 的算術。為了逃避這個唔 make sense 的世界，我走進教會。問牧師：「你們說什麼 Trinity，什麼聖父、聖子、聖靈『三位一體』，究竟是什麼意思？你們說只有『一位』獨一真神，那『三位』是不是指三個面貌？」「不不不，你不要這樣告訴別人，人家會說你是異端。」不等我驚魂稍定，牧師續說：「聖父、聖子、聖靈都『是』神，等於神，明唔明？」「那……三者都等於神，即是聖父等於聖子等於聖靈，三者完全沒有分別，對不對？」「不不不，又不能這樣理解。」「我又唔明嘞，只有一位神，而三者都『是』神，但祂們又非完全一樣，唔 make sense 喎！」

牧師不慌不忙，拿出紙筆，畫下這條數式：

∞ + ∞ + ∞ = ∞

手指按着符號，由左至右，他說：「聖父，加，聖子，加，聖靈，等於神。三個不同的個體，都等於神；祂們的總和，又不大於任何一個。」令我茅塞頓開，這是我十幾年來見過最 make sense 的算術，牧師果然係牧師！

步出教堂，思緒離不開那條數式，為什麼它能夠如此 make sense？關鍵，就在無限大（∞）。無限大不同一般數字，它甚至不是一個很大很大很大很大很大很大的數字，它有着超越數字的邏輯。一個普通數字，不論大得怎樣，加一之後，會變得再大一些；無限大加一，仍是無限大。以日常邏輯衡量，無限大這概念根本唔 make sense。看看一間無限大酒店的故事。

這間酒店，有無限個房間，住着無限個客人，門外掛着一個「滿」字。某天，一位不懂中文的外地遊客走進來，想租房，經理想了一想，說：「沒問題，請等一等。」他叫一號房的住客遷往二號房，二號房住客遷往三號房，三號房住客遷往四號房，如此類推，全部舊住客依然有房住，一號房則騰了出來給新住客。原已爆滿的酒店，竟然容得下多一位住客，現在依然爆滿。

新住客十分滿意無限大酒店的服務，通知同胞。不久，無限個同胞同時蒞臨，酒店經已爆滿，怎辦？經理低頭沉思，靈機一觸，只要把一號房住客遷往二號房，二號房住客遷往四號房，三號房住客遷往六號房，四號房住客遷往八號房，如此類推，全部舊住客遷往雙數房號，騰出單數房號給那無限個新住客，問題迎刃而解。原已爆滿的酒店，接收無限個新住客之後，現在依然爆滿。

無限大能夠產生這些邏輯上的矛盾，因此二十世紀前的歐洲數學家很「怕」無限大，不願意把它納入數學的框架之內。十九世紀末期德國數學家 Georg Cantor 發展了一套闡釋無限大的理論之後，無限大才漸漸為主流數學所接受。

無限大本身唔 make sense，但 ∞ + ∞ + ∞ = ∞ 這條算術又異常 make sense，幾件唔 make sense 的東西放在一起竟然變得 make sense，Trinity 才是世上最奇妙的 synergy。

（2012 年 3 月 24 日 信報副刋，多謝印象文字主編吳國雄提供靈感）

無限大酒店電影版：

與其調查，不如撞吓密碼

調查醜聞，議員和官員最擅長成立一個乜乜調查委員會，傳召「涉案」人等，從各項證供和證據抽絲剝繭，推敲事件的來龍去脈。換句話說，跟偵探查案沒有分別。

看過偵探劇的觀眾知道，查案是非常困難而且峰迴路轉的，擾攘一輪之後，通常真兇都不是原來的疑兇。換句話說，調查出來的結果，醜聞主角通常都是「清白」的，即使不是毫無過錯，最終也能置身事外。

亦即是說，如果你想「釘死」某人，成立調查委員會是徒然的，最好另找途徑。我提議闖入他的電郵信箱，直接揪出黑材料，令他不得不認。

然而，闖入電郵信箱先要拆解他的密碼，豈不比成立調查委員會更難？我今天就要說明，拆解密碼其實不比調查困難，有數學根據的。

我問你，這篇文章多少字？不想自己數，可以叫電腦幫你。整份報紙多少字？用電腦數，也是易如反掌。全世界報紙今天總共出了多少字？用電腦數，可能用上幾分鐘，甚至幾小時，終可得出一個答案。數字數這條問題，對電腦來說是「容易」的，資料多了 n 倍，處理時間增加 n 倍，就是這麼簡單。有些問題比較複雜，資料多了 n 倍，處理時間增加 n² 倍；更複雜的，處理時間可以增加 n¹⁰ 倍。一般人看來，一條 n¹⁰ 倍問題比一條 n 倍問題困難得多，但從電腦學角度，它們的難度屬於同一級數，叫 P 級。所有 P 級問題都是「容易」的，一般應用程式有的功能，例如搜尋、排序等，都屬 P 級，這些功能可以放進日常軟件，因為不論資料多寡，處理時間都在「可以接受」範圍之內。

一條 n⁹⁹ 倍問題也「可以接受」？對，從電腦學角度，n⁹⁹ 倍問題與 n 倍問題都屬 P 級，理論上都是「容易」的，難不倒電腦。很明顯，有些問題比 P 級更難，不是 n 的多少次方可以匹敵。

拆解密碼就是這樣一條難題。假設，你從江湖人士口中得知唐英年的電郵密碼由四個小楷英文字母組成，你可以寫條程式，由 aaaa，aaab，aaac …… 試至 zzzy，zzzz，總共 26⁴ 個組合。正在編寫程式之際，江湖人士來電，唐英年剛剛改密碼，現在變成八個小楷英文字母，程式需要改寫，由 aaaaaaaa 試至 zzzzzzzz，總共 26⁸ 個組合；密碼長度是原來的 2 倍，處理時間是原來的 26⁴ 倍！這是假設密碼只由小楷英文字母組成，否則擴展得更快。很多問題如拆解密碼一樣，除了逐個試，想不到更有效方法；這些逐個試的問題屬於 NP 級，難度比 P 級高一截。唐英年若把密碼繼續加長，很快，電腦便沒可能在「可以接受」的時間內估中。

NP 級未算最難，最難的叫 NP-Hard 級。我的數學不夠精，未能在這裏舉出含具體數字的例子。數學家經已證明，很多經典電腦遊戲都是 NP-Hard 的，我不是遊戲迷，有印象的包括俄羅斯方塊、食鬼、孖寶兄弟、Donkey Kong、Doom、Starcraft，還有很多其他；說它們 NP-Hard，未必是遊戲規則複雜，而是極難計算出最佳玩法。最近甚至有人證明物理學都是 NP-Hard 的，物理學骨子裏就是根據物體運行的數據推敲主宰其運行的方程式，與偵探查案或調查委員會根據各方證據推敲真相的做法如出一轍；我雖不能確切證明，但醜聞調查應該不比物理學或電腦遊戲容易，如果物理學和很多電腦遊戲都是 NP-Hard，醜聞調查至少也是 NP-Hard。

換句話說，醜聞調查（NP-Hard）比破解密碼（NP）困難。與其成立乜乜調查委員會，不如嘗試破解密碼，解不開的話，調查「定罪」的機會只會更渺茫。

最後補充，P 和 NP 代表什麼？一些數學的專有名詞，寫出來也無甚意思。一般讀者大可這樣想，人生遇到的問題有三種：「有可能」解決的（P = Possible），「無可能」解決的（NP = Not Possible），還有「無可能……咁難？！」解決的。

（2012 年 3 月 17 日 信報副刋）

心算萬年曆，你也做得到

很羡慕星期一專欄的作者，連續兩星期恰逢信報休刋日（12 月 26 日聖誕翌日及 1 月 2 日元旦翌日），得以在佳節期間頓筆小休。

活了三十餘年，今年才發覺聖誕和元旦恰好七天之隔，必定在同一星期天！這「發現」本來不值一哂，但推而廣之，可以幫助我們不看日曆也能輕鬆推算某日星期幾。讓我循序漸進，帶領大家學習心算萬年曆。

26 號之外，12 月還有哪天星期一？簡單，19 號、12 號、5 號，26 減去 7 的倍數就是。

今年 10 月 31 日萬聖節是星期幾？逐星期減太慢太煩，幸好有條捷徑。每年 4 月 4 日、6 月 6 日、8 月 8 日、10 月 10 日和 12 月 12 日都在同一星期天；今年 12 月 12 日是星期一，即是 10 月 10 日也是星期一，萬聖節與 10 月 10 日相差 21 天，是 7 的倍數，萬聖節也是星期一。以上五天可稱為日曆上的「地標」，方便我們在月份之間穿梭。2011 年地標全部都是星期一。

今年 7 月 1 日香港回歸紀念日是星期幾？要用另一條捷徑。每年 5 月 9 日、9 月 5 日、7 月 11 日和 11 月 7 日都是地標日；換句話說，今年 7 月 11 日是星期一，7 月 4 日也是星期一，7 月 1 日就是星期五。以上四天不難記，只要記着「朝九晚五」和「7-11 便利店」。

現在 4 至 12 月都有地標，還欠頭三個月。2 月最後一日永遠是地標（平年 28 日，閏年 29 日）；七日後的 3 月 7 日順理成章成了 3 月的地標，為方便記憶，可以 3 月 “0” 日代替（即 3 月 1 日前一天）；1 月最麻煩，在四年一遇的閏年，地標是 1 月 4 日，其餘年份是 1 月 3 日。

2011 年地標是星期一，下年地標星期幾？2012 是閏年，366 除 7 得餘數 2，故地標順延兩天，是星期三。平年順延一天，2013 地標將是星期四。

1989 年 6 月 4 日星期幾？逐年推算地標太慢太煩，又需要捷徑。捷徑是有的，可是，與其再加一條捷徑，不如介紹一條「一站式」公式，一次過推算星期天；該公式把以上所有捷徑結合並簡化，盲目運算便可，省卻上述推理的腦汁，在香港這個「求學只是求分數」的地方，我們無謂尋根問底，總之背熟公式，在老師、長輩和異性心目中「攞分」最重要。我親身試過這條公式，找些遙遠的日子計算，能在五十秒內得出正確答案，速度不算驚人，但我只是一名初哥。

以下介紹公式四步驟，以 1989 年 6 月 4 日作例：

「年」= 1989
「月」= 6
「日」= 4
「心」= 心中記着的數字，整個運算過程只需記着一個數

第一步：

	例：1989 年 6 月 4 日
• 抽出「年」的後二位數字，若單數，加 11；	89 + 11 = 100
• 除以 2；	100 ÷ 2 = 50
• 若單數，加 11。	50 是雙數，步驟完成。我們只關注星期天，七天一循環，故可把 50 除 7，餘 1。「心」= 1。

第二步：
對照下表，根據「年」所在的世紀，把頂行數字（0、2、4 或 5）加進「心」中。

0	2	4	5
不適用（註一）	不適用（註一）	1500	1600
1700	1800	1900	2000
2100	2200	2300	...

例：1989 屬於 1900 世紀，「心」= 1 + 4 = 5。

第三步：
下表列出每月的地標，找出地標日，加進「心」中。

月份	地標日
1	平年 3；閏年 4（註二）
2	平年 0；閏年 1（註二）
3	0
4	4
5	9
6	6
7	11
8	8
9	5
10	10
11	7
12	12

例：6 月的地標日為 6 號，5 + 6 = 11，除 7，餘 4。「心」= 4。

第四步；
「日」減「心」，再除 7，餘數就是星期天。（1 = 星期一；2 = 星期二，類推。）
例：4 - 4 = 0？不打緊，0 即是星期日，-1 即是星期六，-2 即是星期五，類推。

1989 年 6 月 4 日是個星期日，一個血紅色的星期日。

這條公式由 Mike Walter 及 Chamberlain Fong 在 2009 年發明，遠比舊式的捷徑方便易用，當中牽涉一些不淺的數學和聰明點子，有興趣考究的讀者不妨登上：
http://firstsundaydoomsday.blogspot.com/

篇幅所限，就此停筆，祝各位來年順景，事事如意。

§

註一：為什麼最早只到 1500 世紀？因為現時的公曆（Gregorian calendar）在 1582 年才建立。各地採用公曆的時間不一，意大利在 1582 年，英國及其殖民地遲至 1752 年。

註二：一個鮮為人知的事實，「00」字尾的年份，給 400 除得盡的才是閏年，其餘是平年。1600 和 2000 是閏年，1700、1800、1900 不是。

（2011 年 12 月 31 日 信報副刋）

區議會選舉有舞弊的跡象嗎？

2009 年伊朗總統大選，艾哈邁迪內賈德擊敗三位對手成功連任。遠在波蘭，一位學者看着伊朗內政部公佈的點票結果，發覺有點異樣；排名第三的候選人卡魯比在某些選區的得票有點「不尋常」，那些選區恰好正是艾哈邁迪內賈德大勝的區域。「不尋常」之處，關乎卡魯比得票的第一位數字；你沒看錯，只看頭一個數字，便可窺見選舉有沒有「造馬」。

記得中學數學課，高中之前不准用計算機，那時計算 log（對數）需要查表的；有了計算機之後，至今二十多年未碰過對數表了。在沒有計算機的年代，對數表是理科不可或缺的工具；1881 年，美國天文及數學家 Simon Newcomb 發現一個有趣現象，圖書館的對數表「1」字頭那頁永遠是最骯髒和最殘舊的，往後一頁比一頁清潔，人們好像遇到「1」和「2」字頭的數字特別多，遇到「8」和「9」字頭的數字特別少；他更提出一條方程式，說「d」字頭的出現概率為 log(1+1/d)，把「1」至「9」代入「d」的位置，便得出「1」字頭的出現概率約為 30%，「2」字頭約為 17%，逐個減少，「9」字頭只有 4.5%。換句話說，日常遇到的數字，大約每三個便有一個是「1」字頭，為什麼「1」字頭這麼普遍？

Newcomb 沒有解釋，只說該條規律「顯而易見」（"evident"），我等凡人不得不驚嘆數學家對數字的「直覺」。可能就是過於「顯而易見」的關係，Newcomb 沒有找來更多事例，這話題也就此沉寂，不了了之。

五十七年過去，來到 1938 年。通用電氣公司物理學家 Frank Benford 在不知情的情況下重複同一發現，但他更進一步，從現實世界找來多種數據，包括讀者文擇出現的數字、門牌號碼、各國人口、河流長度、棒球聯賽統計數字、原子量（atomic weight）、物理常數等，範疇包羅萬有，總共超過二萬個數字，其字頭分佈與 log(1+1/d) 不謀而合！此現象從此稱為 Benford's Law，班福特定律。可是，Benford 依然沒有解釋為什麼，Benford's Law 雖有實證作根據，卻無甚理論基礎。

又過五十七年（世事多麼巧合！），1995 年美國數學家 Theodore Hill 終有突破，他以嚴謹的數學方法證明，從多種數據來源隨機抽樣得出的數字，其字頭一定符合 log(1+1/d) 分佈，即「1」字頭出現大約 30%，「2」字頭約 17% ……「8」字頭約 5.1%，「9」字頭約 4.5%。這裡不能公式化談數學，我姑且用日常文字嘗試解釋一下。想一想，恒生指數由 1,000 點升至 2,000 點較難，還是 2,000 點升至 3,000 點較難？前者升幅 100%，後者升幅 50%，顯然前者較難。由 2,000 點跌至 1,000 點較難，還是 3,000 點跌至 2,000 點較難？前者跌幅 50%，後者跌幅 33%，也是前者較難。換句話說，恒生指數「1」字頭的時間（1,000-1,999 點）應比「2」字頭的時間（2,000-2,999 點）為長，以此類推，逗留於「3」、「4」……「8」、「9」字頭應該漸次縮短，直至到達 10,000 點，重回「1」字頭，開始另一循環。假設恒生指數長遠而言維持若干每年平均升幅，它逗留在各字頭的時段應該合符 Benford's Law 的比例。

這是一個籠統的解說，粗略點出「1」字頭常見性的來源，道理如何擴展至人口、河流長度、物理常數等風馬牛不相及的領域，在避談公式化數學的前提下無法說得清，我們只有相信 Hill 的數學論證。

那究竟什麼種類的數字合符 Benford's Law？籠統地說，「自然產生」的數字通常符合。地震的深度、地球磁場逆轉的時距、放射性物質的半衰期、脈衝星的轉速等，全部符合 Benford's Law（自然界給我們的數據，這是「自然產生」的第一個含意）。各國人口、原油蘊藏量、溫室氣體排放、傳染病例數目、報稅表的賬目、選舉所得票數等，也符合 Benford's Law（真實的、未經竄改的統計數字，這是「自然產生」的第二個含意）。留意第二類，這提供一個偵測虛報或作弊的途徑，假如某公司長期提供一些不夠「Benford」的稅務資料，那可能是逃稅的跡象；假如點票結果不夠「Benford」，那可能是舞弊的線索。文首提到伊朗總統候選人卡魯比在某些選區得票「不尋常」，所指的就是違背 Benford's Law。

大家要小心，哪些數據合符 Benford's Law 沒有絕對的標準，完全公正的選舉未必符合，舞弊的選舉未必不符，Benford's Law 只可視為一種跡象或線索，絕不應視為確鑿證據。

區議會選舉剛過，不如「就地取材」，拿全部候選人得票第一位數字作個統計，看結果有多「Benford」。下圖所見，「1」和「2」字頭特多，但形態大致上合符 Benford's Law。這算是舞弊的跡象嗎？很難說，每選區人口二萬人左右，可能選區人口加上投票率加上候選人之間的典型差距造就「1」和「2」字頭特別容易出現，又或者其他想得出的原因。上面說過，公正的選舉未必合符 Benford's Law，舞弊的選舉未必不符，現在冒出多一個問題，偏離多遠才算「事有蹺蹊」呢？作為偵測舞弊的工具，Benford's Law 實在太多局限。


香港的選舉大致上都是公開公正的，大家都有信心，即使點票結果與 Benford's Law 不盡相符，我們傾向把「疑點利益」歸於建全的制度，忙替現實與理論的差距找「藉口」，而非動輒懷疑選舉舞弊，也許我們應該慶幸活在這樣一個廉潔的地方。

學術參考：
M. Sambridge, H. Tkalčić, A. Jackson (2010), “Benford’s Law in the Natural Sciences,” Geophysical Research Letters 37, L22301. doi:10.1029/2010GL044830

Boudewijn F. Roukema (2009), “Benford’s Law Anomalies in the 2009 Iranian Presidential Election,” arXiv:0906.2789

R. M. Fewster (2009), “A Simple Explanation of Benford’s Law,” The American Statistician 63, 26-32. doi:10.1198/tast.2009.0005

Theodore P. Hill (1998), “The First Digit Phenomenon,” American Scientist 86, 358.

Theodore P. Hill (1995), “A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law,” Statistical Science 10, 354-363.

這篇文章無咩用

數字推理，空格內應填上什麼？

1, 2, 3, 5, 8, 13, ___, 34, 55, 89, ___, 233

答案：21, 144。這是舉世聞名的 Fibonacci Sequence，可稱作「費氏數列」，每項都是前二項之和。

香港這個功利社會，事事講求實用，每一個課程，每一門學科，每一項研究，每一點新知，大家都會本能地問：有咩用？費氏數列，除了數字推理，有咩用？

Fibonacci 是一位中世紀數學家，生於比薩（Pisa，比薩斜塔所在），其名來自“fils de Bonaccio”，即“son of Bonaccio”的意思。傳說某天父親問兒子，今天帶一雙幼兔回家，任由其自由繁衍，一年後家中會有多少兔子？這裡當然要作些假設。首先，假設幼兔需要一個月才發育成熟，進行交配，懷孕一個月後誕下一雙幼兔；分娩後再次交配，一個月後誕下另一雙幼兔，如此下去，每月生產一雙。新生幼兔的歷程和父母一樣，發育一個月，以後每月生產一雙。假設沒有兔子死亡，十二個月後共有幾雙兔子？

每月的兔子雙數就在費氏數列之內。一個月後 1 雙，四個月後 5 雙，八個月後 34 雙，十二個月後 233 雙。半信半疑的讀者歡迎逐月點算。

這就是費氏數列的用途，除了在數字推理攞分，也可在爸爸心目中加分。除此之外，仲有咩用？

大家應該聽過「黃金比率」。自然界很多尺寸，人體很多部分的比例，許多歷史性建築物的長闊，攝影大師的構圖，都符合黃金比率。簡單來說，符合黃金比率的物件看上去總是特別的「美」，古希臘數家學甚至把黃金比率與「完美」扯上關係。黃金比率的準確數值為 (1+√5)/2，即是多少？那平方根很嚇人，費氏數列提供了一條捷徑。把費氏數列每一項除以前一項，其商數會趨近黃金比率：

5/3 = 1.66666...
89/55 = 1.61818...
233/144 = 1.61805...
黃金比率 = 1.61803...

神奇不神奇？黃金比率與費氏數列的關係千絲萬縷，前者在大自然屢見不鮮，後者亦不會罕見。

記得一個電視廣告，女生拿着菊花，一邊剝花瓣，一邊數着「鍾意佢，唔鍾意佢……」，你估菊花通常有多少塊花瓣？視乎品種，可能有 21、34、55 或 89 塊，全屬費氏數列，這是植物學家的說法。我上網搜尋菊花照片以作印證，多數照片未能清楚顯示花瓣數目，勉強數一數，得出結果與上述數字頗為吻合，相差不過一至二塊。根據植物學一貫說法，很多花卉都有費氏花瓣數目；原本只是用來推算一群虛構兔子的費氏數列，怎與現實世界的花朵扯上關係？

這還不只。相信大家見過松果，當你從底部觀察，會發現松果的「瓣」形成一組向右或向左的螺旋，數一數，螺旋數目應該也是費氏數值。

現在仰頭看看樹葉，怎樣在樹枝上排列的呢？十八世紀植物學家 Charles Bonnet 說得好，讓我抄襲他的說法。想像一條圓柱體樹幹，垂直畫五條直線，平均分佈在圓柱體表面；放一塊葉在第一條線的底部，放第二塊葉在第三條線較高之處，沿着同一方向，第三塊葉放在第五條線，第四塊葉放在第二條線，第五塊葉放在第四條線，第六塊葉回到第一條線，開始新的一圈。換句話說，五塊葉繞樹幹兩圈，葉與葉之間的角度為 2/5 圈，或 144 度。這是其中一種排列，其他排列包括（但不限於）：1/2（兩葉繞一圈，最簡單）、1/3（三葉繞一圈）、3/8（八葉繞三圈）、5/13（十三葉繞五圈）。除了最簡單的 1/2 之外，有沒有發覺分子與分母在費氏數列隔着一項？

為何費氏數列無處不在？坦白說，科學家不明原因，可能與細胞生長的機制有關，很多猜想，但沒人知道誰的正確。許多自然現象都是這樣，發現容易，解釋困難。

樹葉是光合作用之所，其排列是否為收集最多陽光而設？科學家創作了很多模擬樹葉排列和陽光照射的模型，嘗試計算那種排列最佳，據我所知，未有定論。或許他們太沉醉於自己的模型「玩具」，忽略了另一更容易、更踏實的研究途徑 －－ 實驗。

科學家忘記做的實驗，最近給美國紐約州十三歲少年 Aidan Dwyer 捷足先登。某年冬天，他到郊外遠足，被各適其式的樹枝和樹葉吸引住。從此，他收集各種樹葉進行研究，基本上重新發現以上各種排列模式。是否有助收集陽光呢？他用鐵枝代替樹幹，自製了一棵矮樹，再模仿 2/5 的樹葉模式把一片片太陽能電池裝上，這是一棵以太陽能電池代替樹葉的鐵樹。此外，他把同等數量的太陽能電池平鋪在木板之上，如一般太陽能電池板一樣。兩者放在陽光之下，答案呼之欲出了吧 －－ 鐵樹產生的電能比平板多出 20%！

為什麼鐵樹較優勝呢？沒人知道。Aidan 猜想是因為鐵樹的樹葉不會全部被其他樹影遮擋，故總體來說較能維持生電。又是那一句，知道 what 容易，知道 why 困難。

知道費氏數列主宰樹葉排列，有咩用？對 Aidan 而言，這是擺放太陽能電池的新方法，他已經申請了專利，將來可能賺得盤滿砵滿。對我而言，這是賺點稿費的小把戲，編輯收貨已經心滿意足。對你而言，sorry，費氏數列真係無咩用，除了在數字推理和爸爸心目中加分之外。

（2011 年 9 月 1 日 信報副刊）

學術參考：
I. Adler, D. Barabe, R. V. Jean (1997), “A History of the Study of Phyllotaxis,” Annals of Botany, 80, 231-244.

Lynn D. Newton (1987), “Fibonacci and Nature: Mathematics Investigations for Schools,” Mathematics in School, 16, 5, 2-8.

G. J. Mitchison (1977), “Phyllotaxis and the Fibonacci Series,” Science, 196, 270-275.

做人應該識轉軚

來屆特首選舉已經冒出三位疑似選候人 －－ 甲、乙、丙。某大地產商與甲是世交，支持甲理所當然，但身為精明商人，斷不做蝕本生意，最穩當還是上京探探口風，揣摩揣摩中央意旨，再作部署。一天拜會中央大員，酒席間，二人略帶醉意，地產商從口袋掏出甲、乙、丙三張卡片，攤到桌上，用半鹹不淡的普通話說：「你……不用告訴我誰當特首……只用告訴我……誰當不了特首。」故作搖頭擺腦，假裝醉得厲害。中央大員搖着食指：「用你們香港的說法，你真『鬼馬』！」地產商一笑：「我不是『鬼馬』……我只想知道哪一匹是真的馬，哪一匹是假的馬。」大員笑着，沉默片刻，說：「說給你聽也無妨，他是假的。」指着丙。

回港後，地產商把經過告訴智囊。智囊眉頭一皺：「看來你要轉軚了。」「什麼？」「甲是你的朋友，但乙的贏面較高。」「我不明白，甲乙不是機會均等嗎？」「表面上係，不過……好難解釋，不如我跟你玩個遊戲。」智囊掏出三張撲克牌，攤在桌上：「三張牌之中，有一張係葵扇Ａ，你估邊張？」地產商指一指左邊，智囊一聲不響，翻開中間那一張，說：「你看見了，中間這一張不是葵扇Ａ，現在剩下左、右兩張牌，你原本揀左邊，現在我問你，轉唔轉軚揀右邊？」「唔轉，照揀左邊。」答案揭曉，葵扇Ａ在右，地產商沒有抓緊轉軚機會，怨不得人。

遊戲規則是這樣的，地產商作了選擇之後，智囊翻開另外兩張牌其中一張，但一定不會翻出葵扇Ａ，保持神秘，看地產商轉不轉軚。這遊戲與地產商向中央大員收風的方式不謀而合，大員心知地產商與甲友好，即使甲非「真命天子」，也不會當場道破，正如智囊不會翻開地產商選中的那張撲克牌，只會在其餘二者之中翻開（不是葵扇Ａ的）一張。當然，甲可能是「真命天子」，地產商也可以選中葵扇Ａ，那中央大員便在乙和丙中隨意說一位，智囊也在其餘二張牌中隨意翻一張，再看地產商轉不轉軚。

「一次啫，再嚟過！」地產商不憤，餘下兩張牌分明機會均等，怎可能轉軚贏面較高，玩多幾次便見真章。智囊奉陪，今次地產商仍不轉軚，又錯。如此這般玩了二十鋪，地產商漸漸發覺轉軚好像「有着數」，開始改變策略，智囊忍不住說：「我早已告訴你，應該轉軚的。」最終玩了三十鋪，地產商轉軚十四次，對了八次，成功率 57%；反之，不轉軚十六次，對了五次，成功率 31%。轉軚顯然是最優策略。

地產商不明箇中道理，智囊解釋：「如果一開始選中葵扇Ａ，你應該轉軚嗎？」「不該。」「一開始選中葵扇Ａ的機會多少？」「三分一。」「即是說，有三分一情況你不該轉軚，同意？」「ＯＫ。」「如果一開始選不中葵扇Ａ，你應該轉軚嗎？」「……」「葵扇Ａ係一號，你選了二號，我逼不得已翻開三號，你應該轉軚嗎？」「應該……啩。」「一開始選不中葵扇Ａ的機會多少？」「三分二。」「即是說，有三分二情況你應該轉軚，同意？」「又好似係喎。」「轉軚贏面三分二，不轉軚贏面三分一，你應該考慮放棄你的好朋友。」地產商沉默不語。

§

故事說完，談談情節出處。智囊的撲克牌遊戲是 Monty Hall problem 的變種，Monty Hall 是美國某遊戲節目的主持人，節目裡有三扇門，其中一扇背後藏着大獎，參加者作出猜測之後，Monty Hall 會敞開另外一扇（沒有隱藏大獎的）門，問參加者轉不轉軚（轉軚是上策，可是許多參加者不信）。已故數學家 Martin Gardner 在 1959 年 Scientific American 雜誌也提出 Three Prisoners problem，三位死囚之中，州長赦免一人，死囚甲說服獄卒透露誰不得赦免，以為如此便可提高生存機率（事實上，甲被赦免的機會不變，仍是三分一）。

Monty Hall problem、Three Prisoners problem、智囊的撲克牌遊戲及地產商的收風方法，四者全是同一問題的變種，數學上是相等的。每個處境都有一位「投機者」及「內幕人士」，投機者說：「我買一號。」內幕人士回應：「千萬不要買二號。」內幕人士礙於規則、文化、禮貌等因素不會直接評論投機者的選擇，結果是，三號的勝算即時提高，一號勝算不變。換句話說，二號的勝算給了三號，一號沒有得益。

依然半信半疑的讀者，可以想像智囊與地產商玩一次大規模的撲克遊戲。桌上攤着一百張牌，只有一張葵扇Ａ。地產商說：「我揀呢張。」智囊翻開其餘九十八張（不是葵扇Ａ的）牌，只剩地產商的「心儀目標」和最後一張蓋着，地產商應否轉軚？我是他的話，一定轉軚。

依然不信？最好自己做一做實驗。故事裡撲克遊戲的數據不是虛構，是我與妹妹親身試驗的結果，證明轉軚真正是上策，我才敢寫這篇文章的。

（2011 年 7 月 28 日 信報副刊）

參考：Scientific American

亂世的秩序

地震、洪水、山火、戰爭、恐怖襲擊。有何共通點？

記者：「年尾製作世界大事回顧的最佳材料。沒有它們，我早已失業。」

無國界醫生：「又是我出動的時候……well，山火未必，但其餘四件，我都會去。」

受虐者：「每件事都曾經發生在我身上，慘劇每晚都會發生。你以為阿富汗才有戰爭嗎？我家每天都在打仗。你怕朝鮮局勢一觸即發？爸爸每秒都一觸即發。死不是最恐怖，活在恐懼之中才是最恐怖。」

天災人禍，新聞有刊載的，通常都是「大件事」。然而，在泛光燈照不到的幽暗角落，有着千千萬萬不值一提的小事件、小悲劇。我們知道汶川大地震，卻不知道每年有超過一百萬次小地震；知道歷年華南水災，卻無暇兼顧成千上萬的小泛濫；記得八仙嶺大火，香港每年上千宗山火你知道嗎？兩次世界大戰眾所周知，而忘卻了無數內戰和衝突；九一一歷歷在目，昨天發生多少次恐怖襲擊你又知不知道？

大災難必上頭條，受害人亦得到各方憐憫和幫助；日常社會天天發生諸如黑幫械鬥、謀殺、強姦、縱火、虐待等小規模悲劇，我們又知道多少？每一件「大事」給大肆報導，有多少件「小事」被忽略及遺忘？「大事」和「小事」發生的頻率有沒有規律呢？

英國人 Lewis Richardson 在上世紀四十年代已經思考類似問題，他想，戰爭、暴動、謀殺骨子裡都是人與人的衝突，是人類侵略性的體現，雖然背景迥異，其中有否一些隱藏規律呢？第二次世界大戰死了二千多萬人，美國內戰「只」死了六十多萬，謀殺受害者由一至數個不等，此等懸殊的「規模」，有何規律可言？Richardson 收集了 1820 至 1945 年所知戰爭的死亡人數，並以英國和威爾斯的謀殺案例估算全球謀殺比率（一次謀殺可視為一次超小型戰爭），發現戰事規模與頻率成反比，傷亡愈慘重愈是罕見，死傷愈輕愈是常見；假如這是唯一發現，不說也罷，但當他把數據繪成圖表，以死亡人數為橫軸，出現頻率為縱軸（兩軸皆為對數），圖中的點竟由左上至右下成一直線！

在對數圖形成一條傾向右下方的直線（如右圖），符合這形態的算式泛稱「power law」，換言之，人類衝突顯示 power law 的形態。事實上，地震、洪水、山火、恐怖襲擊也符合 power law，其規模和頻率繪成對數圖，也會成一條傾向右下方的直線。有「power」之稱，因為數式的主要部分為某數的負次方，「次方」的英文是「power」，故名。

Power law 這名字，大家可能覺得陌生，「黑天鵝現象」應該聽過吧。「黑天鵝」指一些理論上極為罕見、但實際上偶有出現的大震盪（例如股市大瀉），為什麼理論與現實不符呢？研究社會現象的學者，通常假設數據「正常分佈」（normally distributed），「正常分佈」的數字不會離平均值太遠，走向極端的機率極低，這顯然與事實不符。相反，power law 容許極端情況發生（儘管可能性較低），「黑天鵝」的出現顯得較為合理，用來解釋現象比較恰當。在「正常分佈」的框架下，「黑天鵝」是一個謎；在 power law 的框架下，「黑天鵝」早在意料之內。

與 Richardson 同一年代，另一名叫 George Zipf 的學者發現又一有趣現象。把美國城市根據人口排名，其人口比例恰好是排名的比例，例如，第二位城市的人口是第一位的 1/2，第三位人口是第二位的 2/3，如此類推，第一百位人口是第九十九位的 99/100。這是 Zipf's law，用在英語詞彙也可以，「the」是最常用的詞語，「of」次之，後者出現的頻率恰好是前者的 1/2。

Zipf's law 是 power law 的一種。Power law 不僅形容天災人禍，很多社會現象也可以，說 power law 無處不在，不算誇張。

80/20 法則，大家應該聽過。用 20% 努力拿到 80 分，餘下的 20 分卻往往需要 80% 努力，付出愈多，所得遞減。這法則也體現在財富分佈，最富有的兩成人士控制社會上八成財富，另一端看，最窮困的八成人口只佔所有財富的兩成。富者愈富，貧者愈貧，這是 80/20 法則的另一解讀。會考成績又如何？兩成學生拿去八成分數？兩成學校拿去八成「A」？有沒有這樣懸殊，研究過才知。樓市呢？兩成房屋佔去八成市值？比例會不會隨樓市興衰而改變？又一有趣課題。

80/20 法則由意大利人 Vilfredo Pareto 在上世紀初所創，據他所說，財富分佈也跟隨 power law，80/20 法則實是 power law 的另一體現。

Power law 無處不在，遠至無法預測的大地震，近至自食其果的金融海嘯，小至事不關己的謀殺案，大至影響深遠的世界大戰，看似風馬牛不相及，有的天然，有的人為，為什麼竟然隱藏着同一秩序？學者未有答案。對於個別現象，他們能夠提出一些頗具解釋力的模型，但暫時還沒有一套「集大成」的理論涵蓋所有 power law 現象。

某次與親戚飲茶，談到我替信報撰文，一人問：「信報？邊個睇呀？」另一人衝口而出：「最有錢嗰啲人咪睇囉！」真有洞見！的確，信報讀者多是幸運的一群，位處或接近 power law 的頂端，享受着 power law 給幸運兒帶來的好處。對於貧苦老百姓而言，「power law」可能另有所指；他們心目中，「power law」所代表的，可能是「power breeds power」，貧者愈貧，富者愈富，又或者如英文諺語所言「absolute power corrupts absolutely」。

（2010 年 12 月 22 日 信報副刊）

後記：線上遊戲魔獸世界，最活躍的 11% 玩家佔去過半的遊戲時間，與 80/20 法則如出一轍。最沉迷一星期玩 149 小時，平均每天 21.3 小時。

學術參考：
Juan Camilo Bohorquez, Sean Gourley, Alexander R. Dixon, Michael Spagat, Neil F. Johnson (2009), “Common Ecology Quantifies Human Insurgency,” Nature 462, 911-914. doi:10.1038/nature08631

M. E. J. Newman (2005), “Power laws, Pareto Distributions and Zipf's Law,” Contemporary Physics 46, 323-351. doi:10.1080/00107510500052444

Lars-Erik Cederman (2003), “Modeling the Size of Wars: From Billiard Balls to Sandpiles,” American Political Science Review 97, 135-150.

Lewis F. Richardson (1948), “Variation of the Frequency of Fatal Quarrels With Magnitude,” Journal of the American Statistical Association 43, 523-546.

好高騖遠的數學

上文（或轆落一篇）提及觀察者與水平線的距離，例如身高六英尺看到的水平線是三海浬之外，位置越高當然看得越遠，且是有數得計。這條數不難計，只要懂基本的三角幾何。

「h」是觀察者的高度，「R」是水平線離開觀察者的距離，地球的半徑是6371公里，以「E」代表。畢氏定理說：

由於空氣折射，加了「k」這個折射常數，通常以（4/3）為值。運算時，「R」、「h」、「E」 必定要是相同的單位。

若果觀察者高六英尺（h = 6ft），「R」便是 18288ft，以我喜愛的長度換算器換算一下，得出「R」即是 3 Nautical Miles。

通常「h」比「E」細很多，因此開方號內的第二項可以略去，餘下：

「k」和「E」都是常數，再把英尺對海浬的換算包含在內，便成：

直接以英尺的「h」計算海浬的「R」。

若被觀察的物體在空中（即是有自己的高度，「h」），只要用以上方法算兩次「R」，再把之加起來便得出觀察者與觀察物之間的總距離了。

不太明白的話，可到以下連結閱讀更詳盡的解說：

RADAR HORIZON / LINE OF SIGHT (PDF)
Chapter 8, Radar principles for the non-specialist