呂品韜表現不佳乃「意料中事」

索契冬奧男子 5000 米速度滑冰冠軍、荷蘭人 Sven Kramer 創下奧運紀錄。

不過，他比自己七年前所創的世界紀錄還是慢了 7.4 秒，亦即是說，他比自己的 personal best 慢了 7.4 秒。

呂品韜參加 1500 米，在挑戰獎牌無望的情況之下，挑戰 personal best 就成了「次優目標」。當他比 personal best 慢了若干若干秒，大家都感到失望。

事實上，在索契這個海邊渡假勝地，在接近海平面滑冰，是很難創出最佳成績的，因為滑冰速度快，空氣阻力不容忽視。我不知道呂品韜在哪裡造出他的 personal best，但大部分世界及奧運紀錄都是在高海拔創出的。索契不是一個適合創 personal best 的地方。

其實我覺得呂品韜沒有抱怨什麼，不過說出沒有軍醫隨行的事實，給傳媒小題大做吧了。經一事，長一智，呂品韜從此認識記者從別人口中發掘新聞的威力。

Reference: Why Speed Skaters Perform Better at Higher Elevations

李28劃

啱啱發現一個好無聊的發現……

李麗珊和李慧詩，除了同是姓李之外，名字總共都是28劃。

麗（19劃）＋珊（9劃）= 28
慧（15劃）＋詩（13劃）= 28

以後香港挑選精英運動員，最緊要是姓李，然後28劃。

奧運獎牌算算賬

兩星期前看過奧運獎牌預測，今天回顧一下。

那些預測其實頗準確，以獎牌總數排名，前十位國家估中的。有別於一般看法，我認為排名應以獎牌數目而非金牌數目，前者應是一國體育水平更佳指標，樣本較大，統計上更有意思吧。

下圖把實際獎牌與預測重疊，觀察如下：

• 美國金牌超乎預期。
• 中國表現算是中規中矩吧。
• 俄國和英國近乎預測的上限，應該滿意了。
• 澳洲比較失望，金牌和獎牌俱低於預期的下限。
• 單看金牌，有人以為那是日本國力日衰的寫照，但看總獎牌呢，日本沒有衰落的跡象；以總獎牌計，它排第六，僅次於德國。

哪個預測系統最準確？需要計數，無時間做了。

（信報暫停科學版，我頓失容身之所。沒有稿費的支持和交稿的壓力，很難每星期下筆，偶爾遇到重大科學新聞，寫一寫還是可能的，要看緣份了。）

誰的預測最啱聽？

奧運會過了一半，獎牌榜開始成形，不如帶大家重溫一些「賽前預測」。林行止曾經提過，經濟學家利用一些如人均收入、人口等宏觀數據便能大概預測某國所得獎牌數目，老實說，原理並不高深，結果也不令人意外，愈富有的國家愈多獎牌，愈多人的國家愈多獎牌，俱是顯淺易見的現象，經濟學家把之量化而已。

今次我從網上找來三份最易找的報告或報導，分別代表三種預測系統，比較它們的異同。第一個系統屬於 Colorado College 的 Dan Johnson，第二個系統屬於 Tuck School of Business at Dartmouth 的 Andrew Bernard，第三個系統屬於投資銀行 Goldman Sachs，各系統的考慮因素撮要在下表。

	人 均 收 入	人 口	主 場	主 場 附 近 (1)	計 劃 經 濟 (2)	去 屆 成 績 (3)	增 長 潛 力 (4)
Dan Johnson
Andrew Bernard
Goldman Sachs

人均收入、人口、主場皆是「例牌」項目，其餘的簡介如下。

(1) Dan Johnson 認為主辦國周邊的國家免卻舟車勞頓之苦，是一種優勢。

(2) 前蘇聯及其東歐衛星國、今日的中國、北韓、古巴，刻意培育頂尖運動員眾所周知，這是計劃經濟的優勢。

(3) Andrew Bernard 說，頂尖運動員好像「durable capital goods」，「壽命」橫跨幾屆奧運會，故去屆獎牌數目應對今屆有所啟示。我認為這是十分聰明的設計，使系統能夠與時俱進。

(4) Goldman Sachs 當然順便推銷一下自己的產品，他們編製了一個 Growth Environment Scores 的指數，考慮當地政治穩定性、人力資本、經濟環境等，歸納出一個反映「長遠增長潛力」的指標。不用說，國家的增長潛力與奪金能力成正比。

下圖顯示三個系統給出的預測。不難發覺，Dan Johnson 的預測比較「突出」，跟其餘二者相距較遠，中宣部看了應該很不歡喜，中國的獎牌總數竟然輸給俄羅斯？噢，不打緊，中國的金牌仍然多過俄羅斯，全部預測一致這樣說，新聞只准報導金牌數目就是了。

篇幅所限，不說太多，該圖大家慢慢咀嚼。

（2012 年 8 月 4 日 信報副刋）

左撇子應選哪項運動？

多謝國際奧委會及香港政府在三家電視台中間斡旋，我們能夠每晚通宵觀賞奧運。觀賞賽事時，大家不妨留意一下，哪些項目特別多左撇子？我沒有統計，但經驗告訴我，乒乓球、羽毛球、網球很多左撇子，不是左撇子特別有天份，而是正如小時候爸爸對我說：「左撇子打球很着數，他們見慣右撇子，但右撇子很少碰見左撇子。」一語道破，爸爸真是有智慧。

當時未知的是，爸爸一句說話扼要地概括了進化學一個重要概念，就是某種特徵的價值隨着其頻率下降而提升，故此種特徵很難在人口中消失，因為它愈罕見便愈有優勢，網球比賽的左撇子便是一例。左撇子約佔人口十分之一，在單對單要用球拍的比賽較右撇子佔優，應是不爭的事實。

翻查香港出戰奧運名單，參加的單對單對抗性項目包括乒乓球、羽毛球、劍擊、柔道，前三者左撇子顯然有優勢，至於柔道，門外漢很難分出台上選手究竟是左或右撇子，但我相信左撇子還是有優勢。（職業拳手左撇子比例較平均人口高，說明左撇子打拳有優勢，同樣道理應該適用於柔道吧。）

想像史前時期，兩個原始人為爭食物而打鬥，左撇子勝算較高是肯定的。人類進化大部分在史前時期，想像生命就是一連串你死我活的零和打鬥，經過一代又一代的汰弱留強，左撇子終會主宰大局，全人類都變成左撇子，對嗎？不對，當左撇子超過一半，那種「物以罕為貴」的優勢便拱手讓給右撇子，那時右撇子「反攻」，人口的左／右比例膠着在50/50，誰也佔不到誰的便宜。如果生命像是一連串你死我活的零和打鬥，左右撇子應各佔人口的一半。

然而，左右撇子並非各佔人口的一半，零和打鬥以外，生命還有其他決定生存的因素。人類以複雜的社會架構見稱，個體生存有賴群體協助，簡單來說即是別人需要我們的合作，我們也需要別人的合作。合作多了，一些習俗、標準便會形成，這些習俗、標準往往有利於多數，不利於少數。文字是一種標準，世上多數文字都是方便右撇子書寫的，教寫字的方法也是以右手為依歸。鋼琴琴鍵右邊高音，左邊低音，主旋律通常在高音，是否方便右撇子彈琴？學打高爾夫球，右手用球桿比比皆是，左手用的或要到專門店搜購，找個左撇子教練更是難上加難。如果家裏有左撇子，而父母又是傳統一輩，那便一定有人被逼用右手揸筷子的故事。

不難想像，生活在一個充滿習俗、標準的社會（亦即人類社會），左撇子是處於劣勢的。某些硏究顯示，左撇子死於意外的機會較高，就是證明。

左撇子既有「物以罕為貴」的優勢，它不會消失，又有那種「格格不入」的劣勢，永遠只屬少數。最近一篇硏究就是利用這種一加一減的互動，創作了一個數學模型來解釋左右撇子在平均人口的比例，更把模型應用於多種體育項目，嘗試預測各項目職業運動員的左撇子比例，結果與實況非常相近。當然，該模型只能解釋為什麼其中一種撇子佔人口大多數，不能解釋為什麼右撇子勝出而非左撇子。這條更加基本的問題，恐怕永遠沒有答案。

我再翻看香港出戰奧運名單，以上提過四項之外，還有參加單車、體操、賽艇、風帆、舉重、游泳、田徑、射箭、射擊，九項之中，應該沒有左撇子優勢。問題是，有沒有左撇子劣勢？規例中的某些標準會否無意中「歧視」左撇子，例如田徑跑道向左彎，是否方便了右撇子？體操那些凌空轉身三周半，評判會否看不慣左轉呢，教練懂不懂教左撇子凌空左轉，還是強逼運動員全部向右轉？射箭和射擊的器械有沒有左右之分，有的話，左手用器械很難買嗎？

某些體育項目，左撇子優勢十分明顯。至於左撇子劣勢，可能更普及，不過很難察覺，更沒人理會吧了。

（2012 年 7 月 28 日 信報副刋）

學術參考：
Daniel M. Abrams, Mark J. Panaggio (2012), “A model balancing cooperation and competition can explain our righthanded world and the dominance of left-handed athletes,” J. R. Soc. Interface published online 25 April 2012. doi:10.1098/rsif.2012.0211

提升運動員水平的捷徑

兩組高爾夫球發燒友接受邀請，做一個實驗。實驗需要他們在綠地氈上推桿（putt），室內練習那種。公平起見，他們使用同一支球桿，在同一幅地氈上，瞄準同一個球洞。站在離洞兩米以外，硏究員叫他們估計洞口大小，並用繪圖軟件畫出。然後，推三桿作為練習，跟着十桿正式比試，成績記錄在案。

第一組平均入洞5.30球，第二組平均入洞3.85球，哪組球技超卓，顯而易見。奇怪的是，兩組人是隨機分配，事前只知道他們都是高爾夫發燒友，球技高下不得而知，為什麼兩組表現相差這麼遠？更奇怪的是，第一組估計球洞9.60厘米闊（平均值），第二組估計8.75厘米闊，同一個洞，竟然「各洞入各眼」，看見洞口較大的一組手風亦較順，兩者有關連嗎？為什麼第一組看的球洞特別大？

秘密，就在一句說話。實驗只用一支球桿，但硏究員給第一組球桿的時候會說一個謊話：「這支桿是Ben Curtis用過的。」你和我未必認識Ben Curtis，但美國的高爾夫愛好者大多認識這位薄有名氣的職業球員，為什麼不說Tiger Woods，可能顧及實驗的可信性吧，太知名球員的球桿千金難買，Ben Curtis可能就是那種薄有名氣、卻又未至「高不可攀」的職業球員吧。無論如何，第一組受試者全部聽過Ben Curtis的名字，以為手中球桿來自一位職業球手。第二組接過球桿的時候，硏究員沒說什麼，只知那是一支很貴的普通球桿。

就這樣，第一組看見的球洞較大，推桿亦比較優勝。提升運動員水平很容易，只要說服他們某件器械曾為某某優秀運動員所用，就是這樣簡單，至少在實驗室裏這樣簡單。

看見球洞較大的現象十分有趣，心理學家早已認識類似例子－－網球好手，看見網球較大；射籃準繩，看見籃框較闊；球擊得遠，看見棒球較大；雖然不見實驗證明，我敢打賭百步穿楊的人看見的紅心亦較大。然而，過往實驗只探討比賽之後的感觀，今次實驗的洞口大小估計安排在推桿之前，說明感觀在比賽之前已有差異。

另一個問題是，會否純粹提起Ben Curtis的名字便足以喚起潛意識對優秀的聯想，令水平提升？換句話說，水平提升與球桿無關，全是Ben Curtis的名字作祟，心理學中，這類priming的例子比比皆是。該實驗沒有探討這問題，但我相信球桿是有用的。

看看另一次實驗，探討如何提高專注力，受試者分三組，第一組穿著畫家袍，第二組枱面放着醫生袍（沒有穿上，枱面的醫生袍發揮priming功效），第三組穿著醫生袍，你猜哪組最專注？第三組最專注，第二組次之，第一組包尾。可見priming效用的確存在，但不及穿起醫生袍來得有效，同樣道理，聽見Ben Curtis的名字縱使有效，拿起他的球桿應該更有效。球桿的功能不能抹煞。

想香港運動員在奧運再奪獎牌？看完本文，教練大可順藤摸瓜，掏出形形式式的「寶物」提高運動員心理質素。可是想深一層，一位好教練不能只靠這道板斧，難道每位運動員每次比賽都要送某某前輩的某件「寶物」嗎？送得多，運動員也不信你。平庸教練與優秀教練的分別在於，前者只懂一個謊話來提升你的心理水平，聽得多會厭，後者卻懂千千萬萬個謊話，在不同場合說給不同運動員聽，而且百聽不厭。

（2012 年 7 月 21 日 信報副刋）

學術參考：
Hajo Adam, Adam D. Galinsky (2012), “Enclothed cognition,” Journal of Experimental Social Psychology 48, 918–925. doi:10.1016/j.jesp.2012.02.008

Charles Lee, Sally A. Linkenauger, Jonathan Z. Bakdash, Jennifer A. Joy-Gaba, Dennis R. Proffitt (2011), “Putting Like a Pro: The Role of Positive Contagion in Golf Performance and Perception,” PLoS ONE 6, 10, e26016. doi:10.1371/journal.pone.0026016

Jessica K. Witt, Dennis R. Proffitt (2005), “See the Ball, Hit the Ball: Apparent Ball Size Is Correlated with Batting Average,” Psychological Science 16, 937-938.

Who is Uncle Drew?

Love the story ...

數字不說謊，我便要信嗎？

統計，令人又愛又恨。用它的時候，會說「Numbers don't lie」，人會說謊，數字不會。討厭一些人用它來砌詞狡辯，我們又會說「Lies, damned lies, and statistics」。跟着一位統計學專家又會走出來提醒我們，統計未必代表真相，但沒有統計便一定沒有真相。

最近看見幾件事，令我對統計的局限性有些體會。

《魔球》電影講述畢比特飾演的棒球隊經理如何運用統計數據在球員市場覓得「滄海遺珠」，令窮球隊創造歷史，掀起一次數據革命。故事沒說的是，窮球隊的成功惹來其他球隊仿效，結果不是隊隊緊縮開支，而是人人爭相發掘數據，秘密武器不再秘密，窮球隊優勢漸失。故事所在的 2002 年正是窮球隊的頂峰，當季贏得 103 場，此後九季分別是 96、91、88、93、76、75、75、81、74 場，戰績「一浪低於一浪」。如股票市場一樣，當某項指標獲得廣泛青睞，其效用便會降低。

統計不能助你長勝，除非別人沒有。要 stay ahead of the game，便要不斷發掘別人未發掘的數據。

另一邊廂的 NBA，林書豪旋風由美國捲至亞洲。該名曾遭幾支球隊棄用的黃種人到達紐約後忽然「開竅」，令人大跌眼鏡不在話下，即使「馬後炮」地翻查數據也是無跡可尋。統計在 NBA 不若棒球般普及，但數據派大不乏人，若林書豪的潛質有在某些數據上反映，紐約人根本沒有冷手執個熱煎堆的可能。或者我們應該慶幸，數據不能包羅所有潛能，否則便沒有林書豪這種一舉成名的故事，少了一個鍥而不捨追逐夢想的理由。

未成名的球員不希望數據萬能，這樣他們才有希望；球隊經理和教練不希望數據萬能，這樣才有「眼光」可言；NBA 不希望數據萬能，這樣賽事才有看頭，不時冒出一些峰迴路轉、拍案叫絕的情節，引人入勝。

一場籃球比賽，某人四射四中，現在第五次投射，你猜他中不中？

中文叫做「手風順」，英文叫做「on fire」，籃球戰術有所謂「feed the hot hand」，即是傳球給手風順的隊友，讓他得分。籃球員、評述員、教練、觀眾都相信手風順時命中率較高，實情是不是這樣？手風順是否真有其事，還是我們總愛替偶然的隨機事件冠上非偶然的解釋？

一枚硬幣擲二十次，出現連續四次「公」的機會多大？多數人說，不大。連續三次「公」，我們開始「提高警覺」；連續四次「公」，我們開始說「咁邪？」，有點出乎意料，開始懷疑有些外力干擾。事實上，擲幣二十次，連續四次「公」是頗為常見的，不必大驚小怪。本來一些司空見慣的隨機事件，感覺上並不隨機，這是直覺與事實的差距，因此我們需要統計，以補直覺的誤差。

手風順在統計上站得住腳嗎？如果真有其事，連中幾元之後命中率應該提高；相反，手風欠順，連續射失之後命中率應該下跌。曾有學者找來 NBA 某年某隊的統計數據，列出每位球員射失三次、二次、一次和射入一次、二次、三次之後的命中率，發現情況與手風之說剛剛相反，射中後非但沒有命中率提升，反而些微下降，射失後命中率反而些微提升。為什麼？硏究沒有解釋，我想正正可能是球員誤信手風之說，射入後「信心爆棚」自有濫射的傾向，相反，射失後「步步為營」等待最佳時機再投籃，命中率提升是必然的。無論什麼原因，手風之說經不起命中率的分析。

另一種分析法，用「run」的概念。連續射中或射失就是一個 run，例如「失中中中失失中」包含四個 run：射失一次，連中三次，連失二次，射中一次。如果手風之說真有其事，射中和射失應該結集在一起，run 的次數應比隨機為少，實情是否如此？哈，又是剛剛相反，run 的次數多於隨機，手風之說經不起 run 的分析。

還有其他分析法，這裏不詳說了。過去二十多年，學者嘗試從籃球、棒球、高爾夫球等找尋手風順逆的蹤跡，發現根本沒有這回事，球員表現跟擲毫沒有分別。換句話說，一名命中率 48% 的籃球員，其射中射失的過程跟一枚 48% 擲出「公」的硬幣沒有分別（假設「公」代表入球），即使連擲九次「公」，也不過是隨機的偶然，不值得大驚小怪。

手風這回事，統計上毫無根據，告訴別人，人們又信不信？一位學者曾這樣說：「I’ve been in a thousand arguments over this topic, won them all, but convinced no one.」我也打過籃球，當我手風大順的時候，你告訴我手風是錯覺，我懷疑你根本未打過籃球。

（2012 年 3 月 3 日 信報副刋）

學術參考：
Michael Bar-Eli, Simcha Avugos, Markus Raab (2006), “Twenty years of ‘‘hot hand’’ research: Review and critique,” Psychology of Sport and Exercise 7, 525–553. doi:10.1016/j.psychsport.2006.03.001

T. Gilovich, R. Vallone, A. Tversky (1985), “The hot hand in basketball: On the misperception of random sequences,” Cognitive Psychology 17, 295–314.

一百米的失望

世界田徑錦標賽正在南韓大邱舉行。男子 100 米決賽，大熱門兼世界紀錄保持者 Usain Bolt 竟然偷步，取消資格（現今規例是偷步一次即取消資格）。

有人說，Bolt 偷步之前，在他右線的 Yohan Blake 有一似有若無的晃動，會不會是 Bolt 偷步的導因？對世界級選手而言，身邊任何異動都可能 trigger 起步，是本能。

Yohan Blake 最終贏得冠軍。他在起步點有沒有輕微晃動，大家自己判斷吧。

如果所有撞柱都變成入球……

英超聯會係咁樣（截至去週）：


阿仙奴攞定冠軍，韋斯咸亦唔洗降班。

參考：現實積分榜

渣打馬拉松的第二件「秘密武器」

第二件，因為去年已經介紹過第一件。

去年提議大家跑步時不應腳跟先着地，改以前腳掌或平腳掌着地，這會減輕撞擊力，降低受傷機會，也可跑得快些。這件一年前面世的「武器」已經不再「秘密」，要在今屆渣打馬拉松精益求精，必須一件新的「秘密武器」。

馬拉松全長 42.195 公里，很多跑手在三十多公里會遇上所謂「撞牆」（hit the wall）的困境。我未跑過馬拉松，未能親身「撞牆」，從閱讀所得，「撞牆」簡單來說就是「累至跑不動」。可否用意志捱過呢？這不是意志問題，是生理現象。

首先看看馬拉松的能量需求。長跑有一條很易記的法則，每公斤體重每跑一公里需要一卡路里，假設典型體重 70 公斤，馬拉松便需要（42.195 x 70），約 2950 卡路里。注意，能量需求與跑速無關，快跑當然耗能較快，但完成賽程需時較短，兩者相抵，總能量需求不變。

能量需要燃料，身體有兩種「燃料」：碳水化合物和脂肪，前者包括血液中的葡萄糖及儲存於肝和肌肉的糖原（glycogen），後者不用我多說，皮下脂肪、肚腩、拜拜肉，滿佈全身。以重量計，保持運動的女性有 20% 是脂肪，保持運動的男性有 10% 是脂肪，精英運動員脂肪更少，例如米高佐敦只有 4% 脂肪。每公斤脂肪提供 9000 卡路里，以一位重 70 公斤、有 4% 脂肪的人為例，其脂肪所儲存的能量足夠跑八次馬拉松有餘。

脂肪儲存的能量絕對足夠應付一次馬拉松，怎麼還會撞牆呢？

問題出在合適的燃料。脂肪的能量值雖然高，但不適宜劇烈運動，它釋放能量的過程耗氧量大，適合運動強度低、氧氣充足的情況；當運動量加強，身體會逐漸轉用碳水化合物這種效率較高的燃料；任何時間，身體不會「獨孤一味」燒一種燃料，而會因應運動強度調節兩種燃料的比例，運動愈劇烈，消耗碳水化合物愈快。

現在問題來了，身體儲存的碳水化合物不如脂肪多，不夠一次馬拉松，如果初段過份急進，碳水化合物便會中途用盡，單靠脂肪維持不了原來步伐，跑手被逼慢下來，甚至停下，這一刻就是「撞牆」。撞牆不是用盡能量儲備，只是用盡碳水化合物儲備。當然，避免撞牆很簡單，只要慢慢跑，保持輕鬆步伐，用脂肪多過用碳水化合物，那碳水化合物便不會中途用盡了；只要跑得夠慢，「牆」便永不出現。這不失為一個方法，卻違背了跑馬拉松挑戰自己的原意，我們想尋求的，是一個最佳步速，恰好在終點前用盡碳水化合物，達到我們能力以內的最佳時間。衝線一刻才撞牆，多硬的「牆」也不怕！

數月前，一位馬拉松愛好者、在麻省理工任教的 Benjamin Rapoport 發明了一條方程式計算最佳步速，還製作了「耐力計算器」網站，大家不必懂數學，只要懂上網便可應用方程式，這就是第二件「秘密武器」，你只要輸入性別、年齡、VO_2max 等資料，網頁便會計算最適合你的馬拉松步速。

VO_2max 是什麼？身體使用氧氣，呼出的氧氣永遠少於吸入的氧氣，兩者之差稱為「VO₂」或耗氧量，「V」的由來是「ventilation」；VO_2max 就是最大耗氧量，代表某人運用氧氣的機能，愈高表示體能愈好；五十歲以下男性的 VO_2max 通常在 35 至 45（單位：毫升／公斤．分鐘），會隨年齡消減，頂級長跑好手可達 70 以上。最準確量度 VO_2max 的方法是走進實驗室，戴上連接空氣分析儀的氧氣面罩，在跑步機上跑；一般人沒有這樣先進的儀器，可用心跳頻率估計，詳情不贅，有興趣的讀者可自行上網搜尋；怕麻煩的，假設 VO_2max 為 40 亦無不可，反正這件「武器」不是十分精準的類型。

說它不十分精準，有原因的。Rapoport 的方程式除了必須知道你的 VO_2max，也須知道你的肝糖密度、大腿肌肉重量及含糖量等（這些關乎碳水化合物儲備的變數，當然需要知道），這些數值因人而異，但一般人根本沒法得知，故實際計算以典型數值代入。典型數值儘管有根有據，始終不是為個人度身定造，得出的結果有多符合個人需要，真不知道。然而，拿着一件不太精準的「秘密武器」，總好過「赤手空拳」吧。

最後讓我打個岔，談談賽道。今年渣打馬拉松以尖沙咀彌敦道為起點，經西九龍，青衣，青馬大橋，掉頭再返西九龍，經西隧過海，以維園為終點，有點「帶人遊花園」的感覺，兜兜轉轉跑了 42.195 公里，終點還不過離起點三公里。原來這也是有原因的。國際田徑聯會的規例建議，公路賽起點和終點的直線距離，不應超過比賽距離的一半，對馬拉松而言，即起點和終點不應相隔超過 21 公里。這樣的建議，差不多強逼賽會帶跑手「遊花園」，為什麼要這樣？目的為了抵消風的影響，避免跑手全程受到順風的協助。是不是杞人憂天？

歷史悠久的波士頓馬拉松，其賽道近乎單向，有點似羅湖跑至紅磡。1994 年，受到順風的協助，很多跑手造出驚人的個人最佳時間，此後再沒逼近當日成績。可見順風的確有幫助，亦是現代馬拉松喜歡「帶人遊花園」的原因。

離比賽還有一個月，有參加渣打馬拉松的讀者，祝你們今年更上一層樓！

（2011 年 1 月 19 日 信報副刊）

學術參考：
Benjamin I. Rapoport (2010), “Metabolic Factors Limiting Performance in Marathon Runners,” PLoS Computational Biology 6, 10, e1000960. doi:10.1371/journal.pcbi.1000960

球場變了火車站？

「依吖」……「依吖」……「依吖」……

我不是在偷聽鄰居造愛，也不是睇緊四仔，我正在維園網球場觀看香港網球精英賽，美國網球員維納斯威廉斯的賽事，那是她擊球時的呻吟聲。

大家知不知道她的聲量有多大？八十五分貝。

八十五分貝有多嘈吵？根據環保署網頁，當柴油火車經過，站在二十五米以外的噪音是八十分貝。威廉斯嘈過柴油火車，球場變了火車站。

前世界第一娜華蒂露娃曾經說過：「呻吟已經到了一個不能接受的地步，這根本就是作弊。」她還說：「呻吟影響我，因為聽見球拍的擊球聲是非常重要的；一次差的擊球，耳朵首先聽到，然後眼才看到。擊球聲是球賽不可分割的一部分。」「從前，艾華特和我從不作聲，今天的費達拿也不作聲，咆哮不會令你成為更優秀的球手，甚至有反效果，一場球賽嘶叫上千次簡直是浪費氣力。」

威廉斯的妹妹莎蓮娜卻有異議：「我時而發聲，時而安靜，呻吟並非我刻意所為。我只是專注打自己的球，對手呻吟於我毫無影響。」

莎蓮娜的呻吟聲達八十九分貝。兩姊妹都嘈過柴油火車。

開風氣之先是九十年代、前世界第一莎莉絲，她雖然不是第一位在球場上咆哮的球手，但肯定是當時嘶叫得最刺耳的球手。她的聲量達九十三分貝。

九十三分貝有多嘈吵？路邊掘地用的風炮，站在十米以外的噪音是九十分貝。莎莉絲嘈過風炮。

1992 年溫布頓決賽，莎莉絲面對嘉芙。由於曾被投訴，莎莉絲被逼「調低聲浪」。結果，她輸了。

呻吟不是女性的專利。嘉芙現任丈夫、從前人稱「壞孩子」的阿加斯，也曾遭投訴。1988 年美國公開賽準決賽，蘭度向球證投訴阿加斯在重要分數時會提高聲浪，球證認為阿加斯沒有任何不當行為，沒對阿加斯作出正式警告，只是無稜兩可地叫他「調低聲浪」了事。最終，阿加斯落敗。蘭度說：「每逢重要時刻，他的嘶叫聲便大大提高，打亂了我的節奏。」

如今，呻吟成了網球比賽的「常態」，尤其女子賽事。今天很多著名球手，其呻吟也「馳名於世」，男子有拿度，女子有威廉斯姊妹，還有俄藉美女舒拉寶娃。

舒拉寶娃達一○一分貝。從前啟德機場，飛機在離地不足一百米的上空飛過時，噪音「只」達一百分貝。舒拉寶娃嘈過降落啟德機場的飛機。

論聲浪之大，舒拉寶娃未算第一。2009 年法國公開賽，葡萄牙新星迪比圖（Michelle Larcher de Brito）錄得一○九分貝的「巨響」。若你站在打樁機十米範圍以內，你聽到的是一一○分貝。換句話說，迪比圖與打樁機不遑多讓，球場變了建築地盤。

被問及其「超級巨響」時，迪比圖說：「我也不是第一人啊，莎莉絲和舒拉寶娃都是這樣，我只不過嘈佢哋少少啫。」

少少？簡直信口開河，讓我跟迪比圖算一算賬。聲音其實是空氣的壓力波，壓力愈大即聲浪愈大；人耳非常靈敏，能夠接收的聲壓範圍非常廣，由最微細的竊竊私語到震耳欲聾的噴射引擎，後者的聲壓可能是前者的一億倍，如此廣泛的數值，怎樣濃縮至一個較易表達的範圍呢？最簡單的方法是用對數（logarithm），把聲壓以對數濃縮，便是分貝；由於分貝是一個經「濃縮」的數字，兩個相差無幾的分貝值，其代表的聲壓可以相差很大。迪比圖比舒拉寶娃高出八分貝，比莎莉絲高出十六分貝，「嘈佢哋少少」看似說得過去，然而換算為聲壓值，迪比圖的聲壓是舒拉寶娃的 2.5 倍，是莎莉絲的 6.3 倍，這是不是「少少」呢？恆生指數升了 2.5 倍或你的股票升了 6.3 倍，又算不算「升咗少少」呢？

另一更重要的問題，是呻吟聲會否影響打球？球員們各說各話，真不知相信誰，幸好幾個月前，有個實驗探討過這個問題。實驗找來三十三位有網球經驗的大學生，給他們觀看一些職業球手的打球片段，片段在擊球一刻終止，他們需要盡快猜測網球將會飛向左方還是右方。其中一半片段，於擊球一刻會同時播出半秒雜音，模擬呻吟聲；雜音只有六十分貝，用來模擬呻吟可說非常保守。實驗結果，呻吟聲之下，猜測的速度和準繩度均會下降，換句話說，受試者對來球的反應慢了，亦差了。反應時間一般慢了二、三十毫秒（千分一秒），有多重要呢？現今職業網球賽，發球時速輕易超過一百英里，一般底線抽擊保守估計也有五十英里，二、三十毫秒等於網球飛行兩尺，重要不重要？你和我放假打網球，兩尺可能不重要；在頂尖水平的比賽，在排名第一和第二的收入可能相差以百萬美元計的職業球壇，你說重要不重要？

當然，實驗室未必反映球賽實況，實驗裡的大學生亦非職業球手，但這次實驗無疑替呻吟影響對手提供證據。正在呻吟的球手會不會呻吟得更厲害？未有呻吟的球手會不會開始呻吟？球例會不會考慮規範呻吟呢？

身為現場觀眾的我，最關心當然是我的聽覺。長期處於八十五分貝以上，聽覺便可能受損，受損程度視乎聲浪大小和持續多久；曾有學者指出，每天聽兩小時九十一分貝的音樂，聽覺便會受損。很明顯，如果球場有個威廉斯、舒拉寶娃、迪比圖或任何一位喜愛呻吟的球手，這已是對聽覺的一種威脅。威脅有多大？一場三盤兩勝的單打比賽，一位球員擊球三百至五百次，讓我取中間值，即四百次。假設呻吟像說一個中文字，再假設每秒可說四個中文字，即每次呻吟維持四分一秒。四百次呻吟，每次四分一秒，即每場會有一百秒噪音，假設場上只有一個威廉斯的話（如果兩位都是呻吟愛好者，噪音時段雙倍）。觀看網球雖然威脅聽力，幸好威脅還未至太大。

我終於明白莎蓮娜為何視對手呻吟如無物，因為她自小咆哮慣了，經年累月，聽覺早已受損，早已聽不見對手球拍擊球之聲，甚至連對手呻吟也聽不見，是故她打球全靠視覺，不像娜華蒂露娃視聽兼用。

想着想着，球賽結束，耳朵剛剛承受了一百秒的噪音沖擊。幸好香港網球精英賽一年舉辦一次，我的聽力被世界頂級球星摧毀，看來遙遙無期。

（2011 年 1 月 12 日 信報副刊）

註：文中球手的分貝值參考這本雜誌，在第八頁。

舒拉寶娃和威廉斯同場較量，即飛機遇着火車頭，噪音前所未有……



再聽聽迪比圖的「超級巨響」……



學術參考：
Scott Sinnett, Alan Kingstone (2010), “A Preliminary Investigation Regarding the Effect of Tennis Grunting: Does White Noise During a Tennis Shot Have a Negative Impact on Shot Perception?” PLoS ONE 5, 10, e13148. doi:10.1371/journal.pone.0013148

J. Fernandez, A. Mendez-Villanueva, B. M. Pluim (2006), “Intensity of Tennis Match Play,” British Journal of Sports Medicine 40, 387-391. doi:10.1136/bjsm.2005.023168

亞運獎牌你分到幾多塊？

剛完結的亞運，中國是獎牌大贏家，這不出奇，因為中國人夠多。

看一國貧富不是看 GDP，而是看人均 GDP；同理，一國運動水平，不是看獎牌總數，應該看人均獎牌。我在官方網頁找來獎牌總數，再從世界銀行找來 2009 年各國人口，看看人均獎牌哪國最勁……

香港不差，但（竟然）不及澳門。巴林第一，卡塔爾第二，澳門第三。

4x100m 向後跑世界紀錄

無奇不有……



Source: SpeedEndurance.com

環法單車賽縮水？

真係唔講唔知，原來環法單車賽路程年年不同，根據 The Economist，自 1926 年後，比賽距離拾級而下，冠軍車手則愈來愈快。環法單車賽係咪愈來愈容易？

足球統計起革命

我不是足球迷，家中只有免費電視，又懶得上網找直播，世盃資訊只有靠電視和網上報道。對我來說，今屆最「引人入勝」之處，不是上屆冠、亞軍慘淡出局，不是那個新款皮球，亦不是場上球星一舉一動，而是賽後重溫「驚喜」頻頻。

登上 ESPN 足球網站，除了射門、犯規、角球、越位、控球比率等見慣的統計數字外，竟然見到一幅前所未見的圖像，顯示每位球員在該場比賽的平均位置（average position），腦際即時泛起一個疑問：如何追蹤球員的位置？場上 22 位球員，是否需要 22 人搜集資料？不用人手的話，背後又是什麼樣的科技？

免費電視重溫賽果，往往附帶一些詡詡如生的動畫分析入球過程，這又是什麼回事？沒有實時追蹤球員位置，如此逼真的畫面製作不了。還是，依靠錄影片段繪成動畫？

原來，這是世界盃首次對球場上的「物體」引入實時追蹤，科技由一間名為 Tracab 的瑞典公司提供，根據其網頁，此系統的誤差少於 10 厘米，不單只追蹤所有球員，還包括三位球證和一個皮球，對球場上 26 件「物體」的位置瞭如指掌。世界盃這個世人觸目的大舞台，當然不會使用一些未經考驗的科技，Tracab 系統首於 2005 年瑞典皇家聯賽（Swedish Royal League）面世，後獲俄羅斯、奧地利、匈牙利、土耳其的本土聯賽、2008 年歐洲國家盃和 2009 年洲際國家盃採用，去年 6 月累積追蹤了 1,500 場賽事，「實戰經驗」不容置疑。

這項科技改良自軍用的飛彈導航技術，系統包括兩組相隔不少於 15 米的攝錄機，每組八個鏡頭，即 16 個鏡頭俯瞰全場，球場每一部分至少兩個鏡頭覆蓋，較擠擁的區域（如禁區）或許更多，以提高解像度。原理不難明，要決定一件物體的三維座標，最少需從兩個角度觀之，就像我們單眼視物沒有深度，必須雙眼才可認清物件的正確位置。某程度上，這系統比人眼更先進，球場某些部分是被三隻「眼」覆蓋的。大部分時間，系統懂得自動追蹤場上 26 件「物體」，遇上一些球員異常密集的情況（如開角球或圍着球證申訴），才可能需要兩位真人操作員介入。

打個岔，談談體育數據市場的生態。Tracab 的位置數據只是眾多統計項目的其中一環，世界盃還有一間綜合數據供應商，整合所有統計及相關資訊，並配上適當的畫面供給電視台。自 2002 年至今三屆世界盃，其綜合數據供應商是一間名為 Deltatre 的意大利公司。換句話說，先有 Tracab 的實時追蹤，再經 Deltatre 包裝內容傳至本地電視台，我們才得享免費的三維球賽動畫。

追蹤技術不是 Tracab 獨有，美國的 STATS LLC 亦擁有類似技術。今年 4 月，STATS LLC 獲得歐洲聯賽冠軍盃的追蹤技術合約，相信來年歐聯的統計數據必會愈來愈豐富。

說來諷刺，最流行的隊際運動是足球，數據最貧乏的也是足球。對棒球和籃球有點認識的讀者，必會發現足球的所謂統計是如何的粗糙；由於缺乏數據，球員的優劣亦難以量化，判斷全靠觀感。足球比賽的性質是其缺乏數據的底因，入球稀少不在話下，其流暢節奏使「可數的」項目十分有限，球員的貢獻往往「隱沒」在複雜的組織之下。幸好，有了實時追蹤的位置數據，我們能對每場比賽作巨細無遺的分析。Castrol Index 就是這樣一個嘗試，今屆世盃和去季歐洲各大聯賽，Castrol Index 都有用來替球員排名。對進攻的球員來說，每次傳球和觸球給一個分數，愈近對方龍門愈具威脅，分數愈高；防守方面，成功攔截便得分，愈近己方龍門得分愈高；此外，博得十二碼和自由球也有分數。參考其官方網站，基本的計分原理不難明，可惜細節欠奉。Castrol 是潤滑油製造商，Castrol Index 很明顯是市場推廣策略，計分法如潤滑油秘方，同屬商業秘密，不難理解。

透明一點的計分法也不是沒有，最近連學者也「加入戰團」，把網絡理論應用於判別球員優劣。想像你把某隊所有球員的號碼寫於紙上，排列不拘，抽象一點看，每位球員都是一「點」。另外再加兩個特別「點」：一代表「射中龍門」，一代表「射斜」。球賽開始，2 號把皮球傳給 3 號，你在紙上記錄，由 2 號那點畫一條箭咀至 3 號那點；3 號再傳球給 7 號，你再畫箭咀由 3 號指向 7 號；若干傳球後，10 號門前勁射，越楣而去，你便畫箭咀由 10 號指向「射斜」。如此類推，球賽完畢後，這張紙便記載了一個學術上所謂的「網絡」-- 很多「點」，點與點之間有多條「路線」連接。網絡中那一點最「重要」呢？最「重要」的一點可說亦是球隊最「重要」的一員吧。

計算某點的「重要性」方法很多，網絡理論有個「betweenness centrality」的概念，簡單來說，從網絡隨意挑選兩點，兩點之間會有一條或多條最短路線，最短路線未必直接到達，可能經過一些「中途站」；挑選另外兩點，會有另外一組最短路線和「中途站」。「中途站」處於兩點之間（between），某點當「中途站」的次數愈多，它的「交通樞紐」地位（centrality）便愈形重要 -- 擁有愈多 betweenness，地位便愈是 central 了。

一班學者用以上方法分析了 2008 年歐洲國家盃的實時追蹤數據，發現西班牙的沙維和拉莫斯表現最優秀，符合一般人的觀感。其實他們「醉翁之意不在酒」，只想借足球來驗證他們的構想，看看 betweenness centrality 對衡量隊員的功效，他們更關心的，是把這概念推廣至其他「團隊」，例如一間公司或一隊科研人員的運作。

有了實時追蹤科技，很多從未想過的統計都有可能，例如某球員的最高跑速、長／中／短傳百分比、高／中／低活動時段、控球和非控球的跑動里數、皮球速度、傳球距離，有用的，沒用的，想得出就有可能，大家可到 FIFA 官方網站的統計分頁參觀一下，便會見到一個充滿統計數據的足球新世界。

（2010 年 6 月 29 日 信報副刊）

學術參考：
Jordi Duch, Joshua S. Waitzman, Luis A. Nunes Amaral (2010), “Quantifying the Performance of Individual Players in a Team Activity,” PLoS ONE 5, 6, e10937.

哪個聯賽最具看頭？

兩星期前探討過 NBA 等北美體育聯賽的貧富懸殊，計算過球員薪酬的堅尼系數，今日故技重施，應用堅尼系數於另一類「懸殊」 -- 球隊實力。

數學上，堅尼系數只是對一堆數值的一個「撮要」，由 0 至 1，接近 0 表示數值大小分佈平均，接近 1 表示數值大小懸殊。當應用於某批人的收入，堅尼系數便是貧富懸殊的指標；當應用於球隊戰績，堅尼系數便是強弱對比的顯示。看球隊實力，最好便是翻查聯賽得分，從各隊積分計算出來的堅尼系數，便可作為某一球季該聯賽內實力懸殊的寫照。我找來最為港人熟悉的三國足球聯賽：英超聯、西球牙甲組、意大利甲組，由 1992/93 年球季（那是英超聯的首季）至今共 18 個球季，根據積分，計算每季各聯賽的堅尼系數：

留意上圖左軸，足球聯賽的堅尼系數頂多達 0.2 左右，與現實社會經常見到的 0.4 或 0.5 相距甚遠，這是非常合理的，社會上最富有的一成與最窮的一成比較，收入相差超過十倍屬等閒，但聯賽冠軍的積分通常只是「包尾」那隊的三至五倍，頂多也不過八倍，數字上看，積分懸殊當然不及貧富懸殊嚴重。

過去 18 季，三個聯賽各有一些轉變，例如意甲和西甲分別在 1994/95 和 1995/96 轉為一勝得三分（英超首季經已採用），隊數亦有變更（現時各有 20 隊），堅尼系數的美妙就在這裡，不管隊數多寡，不管得分制度，仍能替強弱懸殊下個定論。定論是否人人同意，是另一回事。不同制度對堅尼系數有何影響，我也不在這裡深究，留給熱中於體育的經濟學者吧。（此外，意甲 2005/06 球季出現假波醜聞，數隊被罰分或強逼降班，我採用罰分前的積分，秉承「錯誤」乃球賽一部分的荒謬傳統。）

一般球迷只會留意爭標形勢和來季歐聯入場劵，鮮有留意積分榜的中下游，故對整體實力差距未必掌握，堅尼系數可填補這個空缺。上圖可見，大部分日子意甲球隊實力最為懸殊，英超次之，西甲最平均，唯近數季情況逆轉，英超和西甲延續過往十年的趨勢，強弱愈見懸殊，意甲則反其道而行。話雖如此，若論過往 18 年，意甲的懸殊程度還是輕微上升的，故總體的結論是，強弱懸殊愈來愈嚴重。常有論者認為，在全球化的風潮下，貧富不均的現象只會加劇，看來足球運動亦難幸免。

這又是否代表足球聯賽愈來愈沒看頭，每季未開鑼已經估到季尾的名次呢？倒也未必。有人說，貧富懸殊不打緊，最重要是社會流動（social mobility），兩者是不同的概念。香港貧富懸殊嚴重，沒有異議，社會流動的多寡才是爭論所在，其難處是沒有一個公認的簡單指標。

足球聯賽的「社會流動」可以怎樣量度呢？設想兩個情形。假設去季和今季的排名一模一樣，這是毫無流動性；假設去季和今季的排名扯不上邊，這是「完美」的流動性。換言之，去季和今季排名的「相關性」（correlation）愈高，表示流動性愈低，反之亦然。統計學裡，兩組數字可以計算一個「相關系數」（correlation coefficient），用以表達它們有多「同步」。理論上，相關系數是由 -1 至 1，但應用於足球聯賽的現實，它不會負數，永遠都是 0 至 1，數值愈大表示流動性愈低，反之亦然。為方便理解，我把足球聯賽的流動性定義為「1 - 相關系數」，使其數值和流動性成正比，直接反映流動性的高低。

三大聯賽的每季流動性如下：

沒有明顯規律，唯一可以說的是西甲流動性較為穩定，而且偏高，兩季除外（1994/95 和 2008/09）。

既然足球聯賽的流動性這麼容易定義，為何現實世界對社會流動還沒有一個客觀標準呢？說到底，社會流動就是上一代和這一代的相關程度，說時容易，但這裡有兩處模糊。首先，上一代的「什麼」和這一代的「什麼」比較？最明顯是「收入」，但社會學家亦會關心「階層」之類的抽象分類。中國古時有士、農、工、商，一位商人即使富可敵國，一般人依然視他為最低階層，今日的職業分類繁複得多，如何排序又是另一個問題（流動既有「向上」和「向下」，自然需要排序），不同地區應否使用不同準則，亦沒有準則。社會學有些相關的分類法，但沒有公認的標準。

另一個問題是，上一代哪個「時段」跟這一代哪個「時段」相比？人有三衰六旺，哪個時段最具代表性呢？30 歲？50 歲？壯年？大家看見問題吧，不單要選擇一個時段，還要廣泛認同一個時段。

量度貧富懸殊，只需捕捉社會一剎那的「影像」；量度社會流動，需要最少兩個「影像」。社會學家對「影」什麼和何時「影」也未有共識，更沒可能對社會流動給一個如堅尼系數般簡單易明的答案了。

（2010 年 6 月 15 日 信報副刊）

堅尼系數計算器：Wessa.net
相關系數計算器：Wessa.net

鳴謝：Wessa, P. (2010), Free Statistics Software, Office for Research Development and Education, version 1.1.23-r6, URL http://www.wessa.net/

堅尼系數的另類應用

香港貧富懸殊，堅尼系數高踞亞洲，路人皆知。一般人不知道的是，堅尼系數怎樣計算呢？常聽人說，收入最低的 10% 只佔社會總收入的多少百分比，收入最低的 20% 又佔總收入多少百分比，推而廣之，要描繪整個社會的收入分佈，我們可以不斷說「收入最低的 x% 佔社會總收入 y%」，x 以橫軸代表，y 以縱軸代表，成下圖。


若社會完全平等，人人收入相同，圖表便是一條 45 度直線，與兩軸組成一個直角等腰三角形（下簡稱「三角形」）。現實與理想必有差距，真實的圖表必然是一條「凹」了進去的曲線。堅尼系數的定義，就是這條曲線與 45 度直線之間的面積（灰色部分）除以整個三角形的面積，亦即是灰色部分佔去三角形的面積比例。當收入完全均等，堅尼系數便是 0；當一人佔去所有收入，曲線便會緊貼雙軸，堅尼系數便是 1；現實永遠處於兩者之間，堅尼系數愈高，表示貧富愈懸殊。

我雖不算球迷，但時常留意體育消息，間中聽聞某某球星賺取天文數字的薪酬，某日忽發奇想，可否把堅尼系數的概念應用於球員薪酬，探討一下球員之間的「貧富懸殊」。不用我說，大家應該都估到，頂級球星的收入與普通球員相比，是不成比例的高出不知多少倍，但不均至什麼程度呢？嚴重過整體社會嗎？不同聯賽有何差別？本文就是由這堆好奇心驅使寫成的。說下去之前，要搞清楚一點，球員（尤其是星級球員）的收入除了球會支付的酬金，還有做代言人等「副業」，後者的報酬往往超越前者，為簡單起見，本文只着眼於前者。大家閱讀時心中有數，包括「副業」的話，「貧富懸殊」將會有增無減。

首先，要決定研究範圍。由於時間有限，資料必須輕易從網上尋獲，而且最好是我已經熟悉的聯賽。不幸地，本地最關心的歐洲足球，一般只談球會付給球會的轉會費，也見球會支付球員的總開支，但個別球員的薪酬少見公開。北美體育透明得多，那裡四大主要聯賽都不難找到球員每季的薪酬，我曾在加拿大居住多年，對四大聯賽亦有一定認識，它們將是本文的重點。四大聯賽分別是：

• NBA (National Basketball Association)：最為港人熟悉，我不多說，每隊 15 人左右（正選加後備）。
  
• NHL (National Hockey League)：冰上曲棍球。一隊 6 人上陣（包括守門員），正選和後備輪流上場，替換比籃球頻密，每隊 23 人左右。
  
• NFL (National Football League)：美式足球。一隊 11 人上陣，進攻和防守由兩批不同球員負責，位置和分工非常精細，四分衛（quarterback）最能主宰大局，每隊 56 人左右。
  
• MLB (Major League Baseball)：棒球。一隊 9 人上陣，雙方輪流擊球和投球，隊員之間不用太多默契，每隊 25 人左右。
  

前三者都有「最高工資」（salary cap）的機制，不單規定球員最高年薪（通常根據年資而定），還定下每隊支出球員酬金的總上限，目的是避免一些富有的大城市球隊壟斷頂尖球員，形成貧富球隊實力懸殊。NBA 的 salary cap 定得較寬鬆，有許多法律空子供球隊鑽，NHL 和 NFL 則定得較「硬」，每個聯賽的 salary cap 細節都不同，對薪酬分佈有何影響，我不敢說。大家只要記着，前三者絕不是「自由市場」，而是有頗多「規範」，這些「規範」傾向令收入較為均等。MLB 沒有 salary cap，最似「自由市場」。

球賽性質又如何呢？籃球賽裡，經常看見一位星級球員帶起整隊球隊，獨力主宰勝負，這種「獨挑大樑」的機會，十分視乎球賽的性質和打法；籃球以外，印象中只有美式足球的四分衛有此擔大任之機，其他球員固然能夠影響賽果，但不是經常有機會作如此重大貢獻。能讓單一球星主宰勝負的賽事，堅尼系數會不會較高呢？

廢話已經說得太多，結果如下（另加幾個地區作參考，堅尼系數由低至高）：

	堅尼系數	最窮 10% 佔整體收入	最富 10% 佔整體收入	最窮 50% 佔整體收入
美國	0.408	1.9%	29.9%	---
中國	0.415	2.4%	31.4%	---
新加坡	0.425	1.9%	32.8%	---
香港	0.434	2.0%	34.9%	---
NHL	0.456	2.3%	29.9%	16.9%
NBA	0.524	0.6%	34.2%	13.5%
NFL	0.569	1.8%	43.8%	13.1%
MLB	0.615	1.2%	57.3%	8.1%

沒有 salary cap 的 MLB 果然貧富最懸殊。最右列是我加的，希望有助了解收入分佈的結構。圖表可見，堅尼系數對貧富懸殊是個頗佳的撮要，但絕不是 the whole story。說到底，它只能形容收入曲線有多「凹」，卻沒有說明「凹」的形態。

MLB 貧富最為懸殊，可歸咎於沒有 salary cap，其餘三個聯賽的先後，我便沒有答案了，和現實世界一樣，知道貧富懸殊有多嚴重，永遠容易過解釋貧富懸殊為何這樣嚴重。當我們嘗試解決貧富不均時，又可否仿傚四大聯賽，引入「最高工資」呢？

（2010 年 6 月 1 日 信報副刊，以後逢星期二刊登）

資料來源：
國家和地區的堅尼系數來自聯合國《Human Development Report 2009》。

四大聯賽的薪酬數據分別來自：
Basketball-Reference.com，
USA Today Salaries Databases (Hockey)，
USA Today Salaries Databases (Football)，
Baseball-Reference.com。

堅尼系數運算器：
Wessa, P. (2010), Free Statistics Software, Office for Research Development and Education, version 1.1.23-r6, URL http://www.wessa.net/co.wasp

2010 年世界盃決賽預測

塞爾維亞對巴西，巴西勝。

唔係隨口噏，而係根據一條 formula：

讓我略作介紹。有人發現，兩國對賽，勝負可由兩國的人口（pop）、人均GDP（y）、及參賽經驗（exp）推算出來，四次裡面接近三次估中。假設國家甲對國家乙：

入球差 =	0.137 log(pop(甲)/pop(乙))
	+ 0.145 log(y(甲)/y(乙))
	+ 0.739 log(exp(甲)/exp(乙))
	(+ 0.657 home advantage when South Africa plays)

看上圖對今年世界盃的預測，有幾點比較令人難以入信：
- 南韓壓過阿根廷，在 B 組首名出線？
- 紐西蘭在 F 組次名出線？

其實塞爾維亞入到決賽已經有點「爆冷」，不知道怎樣量化「參賽經驗（exp）」這東西，而且塞爾維亞以前是南斯拉夫一部分，又怎樣準確計算「參賽經驗（exp）」呢？

有興趣的話，可以參考 Why England Lose 這本書，以上方程式是此書作者的發現。

中國人打美國波

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這是 Ed Wang，第一位純華裔在 NFL Draft 被選中。

NFL 是美國的主要美式足球聯賽，每年都有一次 Draft（選秀會）讓球隊選擇來自全國各地的大專球員。Ed Wang 讀 Virginia Tech，父母都是田徑運動員，曾代表中國參加奧運，1984 年移民美國。

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Ed 打的位置叫 Offensive Tackle，是那些推推撞撞的大肥佬之一，youtube 有他的 highlights（留意片段的箭咀）。

今年剛剛完結的 NFL Draft，Ed 被 Buffulo Bills 選中。

各位不看慣美式足球的，固然不會關心；我身為一位看慣美式足球的中國人，這是一則可喜的消息，現在 NFL 有了第一位純種華裔，利用他來打開中國市場也說不定，球例可以慢慢學，最重要是有「人版」。網球曾有張德培，籃球有姚明（易建聯？），現在美式足球有 Ed Wang。

不知道他的中文名字是什麼？