2012年3月31日 星期六

教你創作信用卡號碼

此信用卡號碼純屬虛構,如有雷同,請自行善後。

4921 1101 1234 5678

是不是一個正確的信用卡號碼?不需問銀行,可自行驗證。

每張信用卡最尾一位數字,其實是個「保險碼」(check digit),與前面十五位數字有些特定關係,不能亂作。這是一種防錯措施,萬一用戶打錯或說錯某些數字,破壞了保險碼跟前面十五位數字的應有關係,電腦能夠立即察覺。保險碼怎樣計算?上述信用卡的保險碼(8)正確嗎?

第一步:由左起,第一位數字乘二,第三位數字乘二,第五位數字乘二……總之單位數字便乘二;
第二步:逐個 digit 加起來(十或以上之數應拆開為兩個單位數,然後相加),以上述號碼為例:(8)+9+(4)+1+(2)+1+(0)+1+(2)+2+(6)+4+(1+0)+6+(1+4) = 52;
第三步:52 + ? = 10 的倍數,答案是 8 -- 這就是保險碼。

所以,上述信用卡號碼是「成立」的,有可能出現的;有沒有銀行發這個號碼,有沒有人願意用這個號碼,則另作別論。

我願意用這個號碼。假設我問你借錢,把信用卡號碼電郵給你;為了防止中途被人偷看,我用預先跟你約定的密碼加密,使郵件內容變成一堆外人不知所云的「垃圾」:&%AG%$@#^?*><!~#*F&W%

你收到電郵,用我們預先約定的密碼解密,得回號碼:4921 0111 1234 5678。核實保險碼無誤,你存錢入戶口,暗嘆倒霉,決定這是最後一次借錢給我。

幾天後,我致電給你,說我收不到錢。你火冒三丈,罵我騙子,我罵你無口齒無義氣,你我從此絕交。

我在說謊嗎?錢去了哪裏?

細心的讀者會發覺,解密後的信用卡號碼其實是錯的,「0」和「1」換了位置,不是雙方誤會了密碼,而是電郵傳送途中,有人惡作劇竄改了郵件;他們雖然不知道密碼,未能偷看內容,但可以對訊息「加鹽加醋」,不知改了什麼,總之是改了。給竄改過的地方,恰好解密後調換了「0」和「1」,更湊巧的是,這樣調換並不影響保險碼,保險碼仍然是「8」,整個號碼還是「成立」的,收件人不虞有詐。

由此可見,保險碼雖有某程度的防錯功能,但絕非滴水不漏;它實在太容易「撞」,任何十五位數字不難得出同一保險碼;知道保險碼,亦不難推敲多個「成立」的信用卡號碼;因此,網上購物的時候,除了提供信用卡號碼,還需填寫卡主姓名、到期日等額外資料,因為保險碼實在不夠「保險」,防錯防冒的功能實在太弱。

上面的故事還有另一個教訓,網絡上傳送敏感資料,加密是不足夠的,還需一些方法確保訊息不曾被竄改。我們不妨把保險碼的概念擴闊,看看互聯網怎樣做。

信用卡前十五位數字可視為企圖傳達的內容,實際上可以是一句說話、一個檔案、一幀照片、一齣電影、一首歌,任何你想傳達的資訊。緊隨其後的保險碼可視為一段「撮要」,根據前面的資訊「消化」而來的;為了保障溝通的安全性,「消化」過程必須符合幾個條件:(一)無法從「撮要」推敲原來訊息;(二)很難創作另一條「消化」出同一「撮要」的訊息;(三)不同訊息「消化」出同一「撮要」的機會微乎其微。(信用卡保險碼其實是「撮要」的一種,其計算過程就是一種「消化」,只不過三個條件都不符合,是一種非常不安全的「消化」程序,不能用於傳遞敏感訊息。)

互聯網興起十多年,網上交易早已十分蓬勃,一個安全的「消化」程序是不可或缺的。現時的「消化」程序仍然穩固,但網絡安全就像說話人和竊聽者的軍備競賽,必須時刻未雨綢繆,否則一被破解便手足無措。美國 NIST(National Institute of Standards and Technology)為此舉辦了一個比賽,徵集下一代的「消化」程式;參賽程式經過世界各地專家「評頭品足」和幾輪淘汰,現在餘下五個方案。就在香港特首選舉投票之前的週四和週五,美國首都華盛頓舉行了一次會議,商討它們的優劣,得勝者將在今年稍後公布,並會成為下一代「消化」程式的標準。

(2012 年 3 月 31 日 信報副刋)

2012年3月29日 星期四

2012年3月28日 星期三

鐵甲鋼拳?

在日本川崎舉行的 ROBO-ONE 機械人搏鬥大賽,據說 GAROO 連續第二年贏了冠軍。不過,看了這片段,還不太肯定誰是 GAROO,紅色還是黑色?

2012年3月24日 星期六

∞ + ∞ + ∞ = ∞

1+1=2,這是我學的第一條算術。

1+1=3,這叫 synergy,受投資者和 CEO 膜拜,其實計錯數。

1+1+……(共一千二百個「1」)……+1=1,這叫小圈子選舉,一千二百票選出一個特首,一看便知計錯數,我們無奈接受。

1+1+……(共七百萬個「1」)……+1=1,這叫一人一票普選,七百萬人選出一個特首,多數市民趨之若鶩,可是建制派說港人全部計錯數,我們無話可說。要「循序漸進」,要等「時機成熟」,可能就是等建制派把「+」號扭轉四十五度變「×」號,確保計啱數,萬無一失。當「+」號變了「×」號之日,建制派又可以說,小圈子選舉那條數跟普選這條數同樣正確,為什麼要變?我們啞口無言。

自從踏出學校,走進社會,我已很久未見過一條 make sense 的算術。為了逃避這個唔 make sense 的世界,我走進教會。問牧師:「你們說什麼 Trinity,什麼聖父、聖子、聖靈『三位一體』,究竟是什麼意思?你們說只有『一位』獨一真神,那『三位』是不是指三個面貌?」「不不不,你不要這樣告訴別人,人家會說你是異端。」不等我驚魂稍定,牧師續說:「聖父、聖子、聖靈都『是』神,等於神,明唔明?」「那……三者都等於神,即是聖父等於聖子等於聖靈,三者完全沒有分別,對不對?」「不不不,又不能這樣理解。」「我又唔明嘞,只有一位神,而三者都『是』神,但祂們又非完全一樣,唔 make sense 喎!」

牧師不慌不忙,拿出紙筆,畫下這條數式:

∞ + ∞ + ∞ = ∞

手指按着符號,由左至右,他說:「聖父,加,聖子,加,聖靈,等於神。三個不同的個體,都等於神;祂們的總和,又不大於任何一個。」令我茅塞頓開,這是我十幾年來見過最 make sense 的算術,牧師果然係牧師!

步出教堂,思緒離不開那條數式,為什麼它能夠如此 make sense?關鍵,就在無限大(∞)。無限大不同一般數字,它甚至不是一個很大很大很大很大很大很大的數字,它有着超越數字的邏輯。一個普通數字,不論大得怎樣,加一之後,會變得再大一些;無限大加一,仍是無限大。以日常邏輯衡量,無限大這概念根本唔 make sense。看看一間無限大酒店的故事。

這間酒店,有無限個房間,住着無限個客人,門外掛着一個「滿」字。某天,一位不懂中文的外地遊客走進來,想租房,經理想了一想,說:「沒問題,請等一等。」他叫一號房的住客遷往二號房,二號房住客遷往三號房,三號房住客遷往四號房,如此類推,全部舊住客依然有房住,一號房則騰了出來給新住客。原已爆滿的酒店,竟然容得下多一位住客,現在依然爆滿。

新住客十分滿意無限大酒店的服務,通知同胞。不久,無限個同胞同時蒞臨,酒店經已爆滿,怎辦?經理低頭沉思,靈機一觸,只要把一號房住客遷往二號房,二號房住客遷往四號房,三號房住客遷往六號房,四號房住客遷往八號房,如此類推,全部舊住客遷往雙數房號,騰出單數房號給那無限個新住客,問題迎刃而解。原已爆滿的酒店,接收無限個新住客之後,現在依然爆滿。

無限大能夠產生這些邏輯上的矛盾,因此二十世紀前的歐洲數學家很「怕」無限大,不願意把它納入數學的框架之內。十九世紀末期德國數學家 Georg Cantor 發展了一套闡釋無限大的理論之後,無限大才漸漸為主流數學所接受。

無限大本身唔 make sense,但 ∞ + ∞ + ∞ = ∞ 這條算術又異常 make sense,幾件唔 make sense 的東西放在一起竟然變得 make sense,Trinity 才是世上最奇妙的 synergy。

(2012 年 3 月 24 日 信報副刋,多謝印象文字主編吳國雄提供靈感)

無限大酒店電影版:

2012年3月17日 星期六

超光速微中子的消逝

去年 10 月談過超光速微中子,這種重大的「顛覆性」發現,科學家不會輕易相信,或許實驗有些未知的誤差,或許有些人為錯誤,直至實驗結果得到廣泛重覆,否則還是未「確認」。

今天收到消息,根據另一組科學家的量度,微中子沒有超光速,一切合乎相對論。

其實早在今年 2 月,原本發現超光速微中子那組科學家已經宣報,GPS 訊號可能有時差,導致速度計算出錯。

超光速微中子的證據與日俱減;一炮而紅不難,經得起時間考驗才是真正的發現。

與其調查,不如撞吓密碼

調查醜聞,議員和官員最擅長成立一個乜乜調查委員會,傳召「涉案」人等,從各項證供和證據抽絲剝繭,推敲事件的來龍去脈。換句話說,跟偵探查案沒有分別。

看過偵探劇的觀眾知道,查案是非常困難而且峰迴路轉的,擾攘一輪之後,通常真兇都不是原來的疑兇。換句話說,調查出來的結果,醜聞主角通常都是「清白」的,即使不是毫無過錯,最終也能置身事外。

亦即是說,如果你想「釘死」某人,成立調查委員會是徒然的,最好另找途徑。我提議闖入他的電郵信箱,直接揪出黑材料,令他不得不認。

然而,闖入電郵信箱先要拆解他的密碼,豈不比成立調查委員會更難?我今天就要說明,拆解密碼其實不比調查困難,有數學根據的。

我問你,這篇文章多少字?不想自己數,可以叫電腦幫你。整份報紙多少字?用電腦數,也是易如反掌。全世界報紙今天總共出了多少字?用電腦數,可能用上幾分鐘,甚至幾小時,終可得出一個答案。數字數這條問題,對電腦來說是「容易」的,資料多了 n 倍,處理時間增加 n 倍,就是這麼簡單。有些問題比較複雜,資料多了 n 倍,處理時間增加 n2 倍;更複雜的,處理時間可以增加 n10 倍。一般人看來,一條 n10 倍問題比一條 n 倍問題困難得多,但從電腦學角度,它們的難度屬於同一級數,叫 P 級。所有 P 級問題都是「容易」的,一般應用程式有的功能,例如搜尋、排序等,都屬 P 級,這些功能可以放進日常軟件,因為不論資料多寡,處理時間都在「可以接受」範圍之內。

一條 n99 倍問題也「可以接受」?對,從電腦學角度,n99 倍問題與 n 倍問題都屬 P 級,理論上都是「容易」的,難不倒電腦。很明顯,有些問題比 P 級更難,不是 n 的多少次方可以匹敵。

拆解密碼就是這樣一條難題。假設,你從江湖人士口中得知唐英年的電郵密碼由四個小楷英文字母組成,你可以寫條程式,由 aaaa,aaab,aaac …… 試至 zzzy,zzzz,總共 264 個組合。正在編寫程式之際,江湖人士來電,唐英年剛剛改密碼,現在變成八個小楷英文字母,程式需要改寫,由 aaaaaaaa 試至 zzzzzzzz,總共 268 個組合;密碼長度是原來的 2 倍,處理時間是原來的 264 倍!這是假設密碼只由小楷英文字母組成,否則擴展得更快。很多問題如拆解密碼一樣,除了逐個試,想不到更有效方法;這些逐個試的問題屬於 NP 級,難度比 P 級高一截。唐英年若把密碼繼續加長,很快,電腦便沒可能在「可以接受」的時間內估中。

NP 級未算最難,最難的叫 NP-Hard 級。我的數學不夠精,未能在這裏舉出含具體數字的例子。數學家經已證明,很多經典電腦遊戲都是 NP-Hard 的,我不是遊戲迷,有印象的包括俄羅斯方塊食鬼、孖寶兄弟、Donkey Kong、Doom、Starcraft,還有很多其他;說它們 NP-Hard,未必是遊戲規則複雜,而是極難計算出最佳玩法。最近甚至有人證明物理學都是 NP-Hard 的,物理學骨子裏就是根據物體運行的數據推敲主宰其運行的方程式,與偵探查案或調查委員會根據各方證據推敲真相的做法如出一轍;我雖不能確切證明,但醜聞調查應該不比物理學或電腦遊戲容易,如果物理學和很多電腦遊戲都是 NP-Hard,醜聞調查至少也是 NP-Hard。

換句話說,醜聞調查(NP-Hard)比破解密碼(NP)困難。與其成立乜乜調查委員會,不如嘗試破解密碼,解不開的話,調查「定罪」的機會只會更渺茫。

最後補充,P 和 NP 代表什麼?一些數學的專有名詞,寫出來也無甚意思。一般讀者大可這樣想,人生遇到的問題有三種:「有可能」解決的(P = Possible),「無可能」解決的(NP = Not Possible),還有「無可能……咁難?!」解決的。

(2012 年 3 月 17 日 信報副刋)

2012年3月15日 星期四

月球近觀

根據最新探月資料,NASA 播出兩段新片,一段關於月球表面的隕石坑,一段講述月球的演變。值得一看。



2012年3月14日 星期三

2012年3月10日 星期六

香港牙醫鍥而不捨追尋埃及法老王


路透社消息,香港牙醫伍士銓將用自己製作的微型機械人潛入埃及金字塔,the Great Pyramid of Giza,找尋法老王胡夫(Khufu)的陵墓。

原來金字塔內有些地方是人去不到的。據說,塔內有些 "shaft",其連接往什麼地方,背後是什麼,沒人知道。今次打算把昆蟲般大小的微型機械人放進 shaft 與牆壁之間的縫隙,沿着爬行,希望打探 shaft 背後的景象。

機械人裝有伍士銓發明、模仿牙醫鉗的臂,報導沒說機械臂有何用途,用來抓着牆壁輔助攀爬,還是另有用途?

真想抽空約見伍士銓,親身看看機械人什麼模樣,和裝作過程中克服的困難。

今次已不是他首次探險金字塔,網上搜尋一下便可翻查他的往績。

道德 = 21% 不軌 + 62% 明知故犯

阿珠很憎阿朗,恨不得他死。金工課,二人被編作一組,合作燒焊;阿珠拿着噴火咀,阿朗負責固定鐵片。

(一)阿珠很想燙阿朗的手。
可是,(二)阿珠不認為熱力經鐵片傳導,足夠燙傷阿朗的手。
阿珠開火燒焊,怎料到,(三)阿朗的手給燙傷了!

你認為阿珠做得有幾錯?1分無錯,4分有點兒錯,7分超錯,你給阿珠多少分?

你認為阿珠應受多少懲罰?1分唔洗罰,4分輕判,7分嚴懲,你罰阿珠多少分?

前者是道德判斷,後者是過失誰屬,沒有必然關係的。甲酒後駕車,遇着有人衝出馬路,撞死途人;乙酒後駕車,一路無人,安然抵家;甲乙犯了相同的錯,甲所受的懲罰嚴重多了。懲罰的輕重,很視乎犯錯的後果;道德的對錯,則視乎當事人的行為和心態。

考慮另一情況。

(一)阿珠不想燙阿朗的手,只想快快完成工序,下堂離去。
(二)阿珠認為燒焊的熱力應會燙傷阿朗的手。
阿珠開火燒焊,幸好,(三)阿朗在熱力抵達之前放手,安然無恙。

你認為阿珠做得有幾錯?你認為阿珠應受多少懲罰?

這是幾年前一次心理實驗的翻版,旨在探討道德和懲罰的背後,是經過什麼樣的「計算」。這裏所指的「計算」,不是政客要拉誰下台的利益盤算,而是人類潛意識會把哪些因素考慮在內,什麼因素拉低道德,什麼因素拉高懲罰,道德和懲罰的「算法」有何異同?

實驗着眼三項因素:(一)當事人的 desire:有/沒有不軌意圖;(二)當事人的 belief:有/沒有預見壞後果的發生;(三)consequence:壞後果有/沒有發生。每項因素兩個可能(有/沒有),三項總共八個組合(以上示範了兩個),即有八段不同的故事,讓受試者給阿珠評分,然後再用統計學方法,分析各項因素影響評分的比重。

結果是,在道德評分的變化裏,(一)佔 21%,(二)佔 62%,(三)只佔 3%(加起來不夠一百,其餘是統計的不確定性)。對錯的判斷,後果發生與否並不重要,最重要是當事人有否預見壞後果發生;若果預見,而又不去阻止,即使天下太平,也是做「錯」。

懲罰呢?(一)佔 13%,(二)佔 50%,(三)佔 22%。後果變得重要一點,仍不及 belief 重要。令我詫異的是 desire 竟佔 13% 之多,即是說,我只要很想殺你,即使從沒嘗試殺你,也不認為能夠殺你,我已經應得 13% 的懲罰,那是不是多了一點?

在現實世界,後果看得見,當事人的 desire 和 belief 是看不見的,只有通過言行、往績、常識作合理推測。近日醜聞圍繞現任特首和兩位下任候選人,政客忽然注重起「道德」來,二字經常掛在嘴邊,就讓我用上述模型衡量一下曾、唐、梁三件醜聞對當事人的道德殺傷力。記着:

道德 = 21% 不軌 + 62% 明知故犯

(3% 後果實在微不足道,在道德判斷中可以不理)最重要是說服別人你沒有明知故犯,其次是表白心跡沒有不軌意圖。

先看唐英年。僭建風波裏,他道德滑坡至什麼地步?首先列出關於他的 desire 的兩個可能:

(1a) 他很想住大屋,很想僭建(有不軌意圖)
(1b) 他不想僭建,只想與太太保持良好關係(沒有不軌意圖)

再列出關於他的 belief 的兩個可能:

(2a) 他知道太太在僭建,但為了保持關係,只好吞聲(有預見壞後果)
(2b) 他不知道太太在僭建(沒有預見壞後果)

想不想僭建,只有唐英年自己知道;在解畫過程中,他和太太極力推銷 (2b) 的說法,企圖洗脫「明知故犯」的印象,只可惜,這樣做未免給人拿太太作「擋箭牌」的觀感,加上他說謊在先,挽救已經太遲。

再看梁振英的西九門。

(1a) 他很想幫朋友得獎(有不軌意圖)
(1b) 他管你朋友不朋友,只想取個銜頭,當個評審(沒有不軌意圖)

(2a) 他知道成為評審團之一,其他評審總會「俾俾面」,朋友得獎機會自會提高(有預見壞後果)
(2b) 他不認為能夠獨力左右賽果(沒有預見壞後果)

梁振英矢口否認認識對方,把自己牢牢放在 (1b) 的位置;評審團以多人組成,辯說 (2b) 也不太難;此事頂多怪責梁振英疏忽漏報,道德殺傷力大極有限,原先「爆料」的人難道沒有更黑的材料?現在追究的政客,何不花精力在一些更有「回報潛力」的事情之上?

曾蔭權呢?

(1a) 接受款待,「回禮」是理所當然的(有不軌意圖)
(1b) 從不打算「回禮」,只想貪點小便宜(沒有不軌意圖)

(2a) 不論「回禮」與否,總有瓜田李下之嫌,豎立不良榜樣(有預見壞後果)
(2b) 無所謂啦!富翁慷慨,根本不稀罕什麼利益;傳媒和立法會監督,我輸送不了什麼;瓜田李下?做個朋友啫!(沒有預見壞後果)

堅持 (1b),顯得曾蔭權貪婪,不懂人情世故;堅持 (2b),則顯得他天真,天真得連公職人員的基本規條也忘記得一乾二淨。如何辯解,也難全身而退,難怪當天答問會曾特首只能以言辭懇切的委屈表情熬過那生命中最長的三千六百秒。

(2012 年 3 月 10 日 信報副刋)

學術參考:
Fiery Cushman (2008), “Crime and punishment: Distinguishing the roles of causal and intentional analyses in moral judgment,” Cognition 108, 353–380. doi:10.1016/j.cognition.2008.03.006

2012年3月3日 星期六

數字不說謊,我便要信嗎?

統計,令人又愛又恨。用它的時候,會說「Numbers don't lie」,人會說謊,數字不會。討厭一些人用它來砌詞狡辯,我們又會說「Lies, damned lies, and statistics」。跟着一位統計學專家又會走出來提醒我們,統計未必代表真相,但沒有統計便一定沒有真相。

最近看見幾件事,令我對統計的局限性有些體會。

魔球》電影講述畢比特飾演的棒球隊經理如何運用統計數據在球員市場覓得「滄海遺珠」,令窮球隊創造歷史,掀起一次數據革命。故事沒說的是,窮球隊的成功惹來其他球隊仿效,結果不是隊隊緊縮開支,而是人人爭相發掘數據,秘密武器不再秘密,窮球隊優勢漸失。故事所在的 2002 年正是窮球隊的頂峰,當季贏得 103 場,此後九季分別是 96、91、88、93、76、75、75、81、74 場,戰績「一浪低於一浪」。如股票市場一樣,當某項指標獲得廣泛青睞,其效用便會降低。

統計不能助你長勝,除非別人沒有。要 stay ahead of the game,便要不斷發掘別人未發掘的數據。

另一邊廂的 NBA,林書豪旋風由美國捲至亞洲。該名曾遭幾支球隊棄用的黃種人到達紐約後忽然「開竅」,令人大跌眼鏡不在話下,即使「馬後炮」地翻查數據也是無跡可尋。統計在 NBA 不若棒球般普及,但數據派大不乏人,若林書豪的潛質有在某些數據上反映,紐約人根本沒有冷手執個熱煎堆的可能。或者我們應該慶幸,數據不能包羅所有潛能,否則便沒有林書豪這種一舉成名的故事,少了一個鍥而不捨追逐夢想的理由。

未成名的球員不希望數據萬能,這樣他們才有希望;球隊經理和教練不希望數據萬能,這樣才有「眼光」可言;NBA 不希望數據萬能,這樣賽事才有看頭,不時冒出一些峰迴路轉、拍案叫絕的情節,引人入勝。

一場籃球比賽,某人四射四中,現在第五次投射,你猜他中不中?

中文叫做「手風順」,英文叫做「on fire」,籃球戰術有所謂「feed the hot hand」,即是傳球給手風順的隊友,讓他得分。籃球員、評述員、教練、觀眾都相信手風順時命中率較高,實情是不是這樣?手風順是否真有其事,還是我們總愛替偶然的隨機事件冠上非偶然的解釋?

一枚硬幣擲二十次,出現連續四次「公」的機會多大?多數人說,不大。連續三次「公」,我們開始「提高警覺」;連續四次「公」,我們開始說「咁邪?」,有點出乎意料,開始懷疑有些外力干擾。事實上,擲幣二十次,連續四次「公」是頗為常見的,不必大驚小怪。本來一些司空見慣的隨機事件,感覺上並不隨機,這是直覺與事實的差距,因此我們需要統計,以補直覺的誤差。

手風順在統計上站得住腳嗎?如果真有其事,連中幾元之後命中率應該提高;相反,手風欠順,連續射失之後命中率應該下跌。曾有學者找來 NBA 某年某隊的統計數據,列出每位球員射失三次、二次、一次和射入一次、二次、三次之後的命中率,發現情況與手風之說剛剛相反,射中後非但沒有命中率提升,反而些微下降,射失後命中率反而些微提升。為什麼?硏究沒有解釋,我想正正可能是球員誤信手風之說,射入後「信心爆棚」自有濫射的傾向,相反,射失後「步步為營」等待最佳時機再投籃,命中率提升是必然的。無論什麼原因,手風之說經不起命中率的分析。

另一種分析法,用「run」的概念。連續射中或射失就是一個 run,例如「失中中中失失中」包含四個 run:射失一次,連中三次,連失二次,射中一次。如果手風之說真有其事,射中和射失應該結集在一起,run 的次數應比隨機為少,實情是否如此?哈,又是剛剛相反,run 的次數多於隨機,手風之說經不起 run 的分析。

還有其他分析法,這裏不詳說了。過去二十多年,學者嘗試從籃球、棒球、高爾夫球等找尋手風順逆的蹤跡,發現根本沒有這回事,球員表現跟擲毫沒有分別。換句話說,一名命中率 48% 的籃球員,其射中射失的過程跟一枚 48% 擲出「公」的硬幣沒有分別(假設「公」代表入球),即使連擲九次「公」,也不過是隨機的偶然,不值得大驚小怪。

手風這回事,統計上毫無根據,告訴別人,人們又信不信?一位學者曾這樣說:「I’ve been in a thousand arguments over this topic, won them all, but convinced no one.」我也打過籃球,當我手風大順的時候,你告訴我手風是錯覺,我懷疑你根本未打過籃球。

(2012 年 3 月 3 日 信報副刋)

學術參考:
Michael Bar-Eli, Simcha Avugos, Markus Raab (2006), “Twenty years of ‘‘hot hand’’ research: Review and critique,” Psychology of Sport and Exercise 7, 525–553. doi:10.1016/j.psychsport.2006.03.001

T. Gilovich, R. Vallone, A. Tversky (1985), “The hot hand in basketball: On the misperception of random sequences,” Cognitive Psychology 17, 295–314.