太空垃圾愈來愈多，對軌道運行的太空站和人造衛星構成危險，大家應有聽聞。有沒有想過，人類不斷射東西上太空，地球豈不變得愈來愈輕？
不會。軌道內的物體，無論太空垃圾或退役的人造衛星，受大氣層邊陲的阻力拖慢，愈飛愈低，最終墮入大氣層燒毀，質量重回地球，「落葉歸根」。除了那些探索星球及外太空的太空船一去不返，絕大部分射上天的質量都沒有真正離開地球。
全球人口從工業革命時起飛，由 1800 年十億增至今日七十億，地球豈不愈來愈重？
不會。體重源自食物，食物源自土壤和空氣；我們每增一公斤，泥土和大氣層便減少一公斤，總重量不變。
那究竟地球的重量會不會變？會的話，重了還是輕了？什麼現象能夠改變地球的重量？英國廣播公司某節目去到劍橋大學拜訪兩位教授，以下是他們的粗略估算。
• 太空塵：+40,000 公噸。
混沌之初，太陽系只是一堆塵。慢慢地，某些地方的塵愈積愈厚，吸引更多的塵，行星就是這樣結集而成。然而，不是所有的塵都被行星「俘虜」，許許多多漏網之塵彌漫着太陽系；隕石，可說是一粒巨大的塵。隕石墜落，無論被大氣層「燒」耗掉還是跌至地面，都是一些額外的重量，地球重了。比隕石細小很多的太空塵，受地球引力吸引，時時刻刻「從天而降」，替地球加重了不少。根據劍橋教授，每年墜落地球的太空塵達 40,000 公噸。
• 氣候暖化：+160 公噸。
愛因斯坦方程式 E = mc2，能量和質量可以互換的，大氣層困着愈多能量，地球愈重。不要問我那些質量實際上從何而來，我不知道，我只是相信愛因斯坦和劍橋教授；根據估算，氣候暖化使地球每年增重 160 公噸。
• 失熱：-16 公噸。
既然暖化增重，失熱便會失重。地球核心熱過十八層地獄，熱力使岩漿流動，地殼推移，引爆火山和地震。雖然地殼包圍，熱力還是會流失的，每秒釋放至太空的能量約 44 x 1012 焦耳，以 E = mc2 換算，每年失重 16 公噸。
• 漏氣：-95,000 公噸。
一些太輕的星球，引力不足，讓氣體逃跑掉，沒有大氣層保護。地球幸運，質量足以保住大氣，可是還會流失一點點。最輕的氫氣，容易逃脫，每秒流失 3 公斤，一年流失 95,000 公噸。
• 繼續漏氣：-1,600 公噸。
氦氣也會逃脫，每年流失 1,600 公噸。
數不難計，地球每年「瘦身」56,456 公噸，看似很多，不過只是地球重量的 0.000000000000001%。即使以人造物體比較，五萬多公噸也不是什麼驚人數字，埃菲爾鐵塔總重已經一萬公噸，現時最大型的貨櫃船排水量動輒超過九萬噸。
總體重量變化微不足道，地殼表面的重量分佈又怎樣？貨櫃船滿載貨物由中國駛往美國西岸，回航貨櫃是空的，中國換來一大堆美鈔，美國重了還是中國重了？中國雖然出口大量製成品，但也入口大量原材料，總計怎樣？美國貿易逆差巨大，是消費品的最大集散地，重量增加應該沒錯。美國重了，哪裏輕了？南美、澳洲、非洲、中東等地，出產大量天然資源支持美國消費，她們輕了麼？
某地的重量變化不能由貿易順／逆差得出，一百萬美元鐵礦石與一百萬美元顧問費價格相同，重量大異。如果我的估計沒錯，消費大國「增肥」，資源大國「瘦身」，前者集中北半球，後者集中南半球，近十幾年地殼表面的重量是否南向北移？對地殼活動有沒有影響？對地球自轉有沒有影響？
我沒時間跑去香港大學請教教授，有興趣的讀者或可代勞。
（2012 年 2 月 11 日 信報副刋）
2012年2月11日星期六
2012年2月4日星期六
眼耳口鼻「打交」可能是童年「陰影」
看圖一，你會先望紅色還是綠色？
看圖二，你又會先望紅色還是綠色？
如果你是一個喜歡紅色的正常人，你多會先望左邊。
如果你是一個喜歡綠色的正常人，你多會先望右邊。
如果你是一個紅綠沒有偏好的正常人，兩邊的機會均等。
所以，如果你是正常人，望圖一和圖二的目光應該沒有分別。
世上既有正常人，便一定有些不正常的人。有些人，看見「A」字是紅色，「B」字是綠色，「5」字可能是黃色，「7」字可能是紫色，總之某些字與某些顏色連上，是為「聯覺」（synaesthesia）－－兩種本來不相干的感覺聯繫上。2006 年英國一次大型調查發現 4.4% 的人擁有聯覺，若把比例搬來香港，即本地有超過三十萬聯覺人，我在 2009 年 5 月 27 日本欄呼籲聯覺人到我的網誌留言，你猜得到多少回應？零！不知是否號召力太弱，還是聯覺在本地族群絕無僅有（遺傳或多或少有關），零回應令我頗為詫異。
「字→顏色」是聯覺的一種，其他聯覺包括「音調→顏色」（聽 C 音見藍色）、「音程→味道」（聽小二度嘗酸味）、「味道→形狀」（吃甜感覺很圓）等，至今發現超過五十種。理論上，任何眼／耳／口／鼻的不正常配搭都是聯覺，讀者大可隨意組合。
假設你有「形狀→顏色」的聯覺，看見三角形是紅色的，圖二會先望哪一邊？
如果你喜歡紅色的三角形在綠色的背景襯托下比較突出，你多會先望右邊。
如果你喜歡紅色的三角形配合紅色的背景比較融和，你多會先望左邊。
無論你先望左邊還是右邊，由於聯覺對圖二造成的干擾，你看圖一和圖二的目光應有差別。
換句話說，如你以不同的目光觀看二圖，我猜你有聯覺大概不錯，那是一種聯覺測試法。受試者一言不發，硏究人員只需旁觀，便大概知道有聯覺沒有。
這測試不十分精準。假如你同時看見圓形是紅色的呢？二圖的目光又會變得一樣，測試走漏了眼。假如你看見三角形是黃色的呢？二圖的目光又可能會變得一樣，又走漏眼。由於容易走漏眼，它傾向低估聯覺的比例。
由於這些弱點，此法不是用來測試成年人。成年人的聯覺有其他更精準的測試法，這裏篇幅所限，不贅。此法的優點是不需任何言語交流，最適合測試毫無社交能力的人－－嬰兒。嬰兒最先懂得分辨紅色和綠色，故選擇紅綠。
嬰兒有沒有聯覺？多少嬰兒有聯覺？
去年八月一次硏究發現，兩個月大的嬰兒對圖一／二的目光差異遠高於成人；論文只列出平均值，沒有列出個別數字，我不敢說全部嬰兒都有聯覺，但以整體來看，嬰兒擁有聯覺的程度遠超一般成年人是肯定的。這結果肯定了學術界一直以來對聯覺成因的猜想：嬰兒腦裏的神經「過度活躍」，神經之間連接得盤根錯節，令感官「打交」，成長過程中，多餘的連接會「剪掉」，當一些應該剪掉的連接沒有剪掉，「打交」的感官遺留，此人便有聯覺。如今證實嬰兒真的有聯覺，此一猜想得到多一份支持。
在成年人的世界，聯覺屬於不正常（雖未至病態）；在嬰兒的世界，或許沒有聯覺才是不正常。嬰兒眼中的父母，未必是父母眼中的自己；父母眼中的嬰兒，也未必是嬰兒眼中的自己。
（2012 年 2 月 4 日 信報副刋）
學術參考：
Katie Wagner, Karen R. Dobkins (2011), “Synaesthetic Associations Decrease During Infancy,” Psychological Science 22, 1067-1072. doi:10.1177/0956797611416250
看圖二，你又會先望紅色還是綠色？
如果你是一個喜歡紅色的正常人，你多會先望左邊。
如果你是一個喜歡綠色的正常人，你多會先望右邊。
如果你是一個紅綠沒有偏好的正常人，兩邊的機會均等。
所以，如果你是正常人，望圖一和圖二的目光應該沒有分別。
世上既有正常人，便一定有些不正常的人。有些人，看見「A」字是紅色，「B」字是綠色，「5」字可能是黃色，「7」字可能是紫色，總之某些字與某些顏色連上，是為「聯覺」（synaesthesia）－－兩種本來不相干的感覺聯繫上。2006 年英國一次大型調查發現 4.4% 的人擁有聯覺，若把比例搬來香港，即本地有超過三十萬聯覺人，我在 2009 年 5 月 27 日本欄呼籲聯覺人到我的網誌留言，你猜得到多少回應？零！不知是否號召力太弱，還是聯覺在本地族群絕無僅有（遺傳或多或少有關），零回應令我頗為詫異。
「字→顏色」是聯覺的一種，其他聯覺包括「音調→顏色」（聽 C 音見藍色）、「音程→味道」（聽小二度嘗酸味）、「味道→形狀」（吃甜感覺很圓）等，至今發現超過五十種。理論上，任何眼／耳／口／鼻的不正常配搭都是聯覺，讀者大可隨意組合。
假設你有「形狀→顏色」的聯覺，看見三角形是紅色的，圖二會先望哪一邊？
如果你喜歡紅色的三角形在綠色的背景襯托下比較突出，你多會先望右邊。
如果你喜歡紅色的三角形配合紅色的背景比較融和，你多會先望左邊。
無論你先望左邊還是右邊，由於聯覺對圖二造成的干擾，你看圖一和圖二的目光應有差別。
換句話說，如你以不同的目光觀看二圖，我猜你有聯覺大概不錯，那是一種聯覺測試法。受試者一言不發，硏究人員只需旁觀，便大概知道有聯覺沒有。
這測試不十分精準。假如你同時看見圓形是紅色的呢？二圖的目光又會變得一樣，測試走漏了眼。假如你看見三角形是黃色的呢？二圖的目光又可能會變得一樣，又走漏眼。由於容易走漏眼，它傾向低估聯覺的比例。
由於這些弱點，此法不是用來測試成年人。成年人的聯覺有其他更精準的測試法，這裏篇幅所限，不贅。此法的優點是不需任何言語交流，最適合測試毫無社交能力的人－－嬰兒。嬰兒最先懂得分辨紅色和綠色，故選擇紅綠。
嬰兒有沒有聯覺？多少嬰兒有聯覺？
去年八月一次硏究發現，兩個月大的嬰兒對圖一／二的目光差異遠高於成人；論文只列出平均值，沒有列出個別數字，我不敢說全部嬰兒都有聯覺，但以整體來看，嬰兒擁有聯覺的程度遠超一般成年人是肯定的。這結果肯定了學術界一直以來對聯覺成因的猜想：嬰兒腦裏的神經「過度活躍」，神經之間連接得盤根錯節，令感官「打交」，成長過程中，多餘的連接會「剪掉」，當一些應該剪掉的連接沒有剪掉，「打交」的感官遺留，此人便有聯覺。如今證實嬰兒真的有聯覺，此一猜想得到多一份支持。
在成年人的世界，聯覺屬於不正常（雖未至病態）；在嬰兒的世界，或許沒有聯覺才是不正常。嬰兒眼中的父母，未必是父母眼中的自己；父母眼中的嬰兒，也未必是嬰兒眼中的自己。
（2012 年 2 月 4 日 信報副刋）
學術參考：
Katie Wagner, Karen R. Dobkins (2011), “Synaesthetic Associations Decrease During Infancy,” Psychological Science 22, 1067-1072. doi:10.1177/0956797611416250
2012年2月2日星期四
2012年1月28日星期六
生命裏幾多%是廣告？
今年 1 月 16 日星期一黃昏五時許，香港中央圖書館出現一個奇怪境象。某人桌上疊着許多報紙，逐版攤開，拿着膠尺來回量度，巡館人員無不投以奇異的目光，可是此人並無製造滋擾，拿他沒法。究竟讀報紙為什麼要用尺？
那人是我，我正在量度報紙廣告的面積。
平日翻開報紙，碰口碰面都是全版廣告；近年盛行的免費報章更甚，廣告多過內容。不禁要問，今日的報紙，多少版面用來賣廣告？讀者能夠容忍多少廣告呢？
這問題在腦中縈繞了一段日子，近日終於一鼓作氣，拿起家中 1 月 9 日及 12 日兩份舊《信報》量一量。只量《信報》無甚意思，當然要找其他收費報章比較比較，於是到中央圖書館找來同日期的《蘋果》、《東方》、《星島》、《明報》及《經濟日報》，花了逾三小時量度共十份報紙的廣告面積，你猜哪份廣告最多？
（註：《星島》、《經濟》及《信報》付送小報，以上數字已把小報計算在內，唯《星島》例外。圖書館保留的《星島》不包括小報，計算已把其面積剔除。）
與你的印象或觀感相符嗎？有想過付錢買報紙，動輒四成是「水份」？
對我來說，最意外是《經濟》和《信報》印象中屬於同一「類型」，非大眾化，讀者群較窄，但廣告份量竟有天壤之別，兩份報紙顯然採取兩種不同的經營手段。以廣告份量觀之，《經濟》似《蘋果》和《東方》多過似《信報》。
免費報紙不收分文，純靠賣廣告為生，廣告版面會否更多？我沒時間翻看所有免費報，唯有以自稱「全港 No.1 最多人睇嘅」《頭條日報》為代表，找來 1 月 16 日及 17 日兩份，其廣告佔版面分別是 62.6% 和 65.9%，果然比收費報章高，但不算高出很多。
除了滿足好奇心，留意報紙廣告面積還有什麼實際用途？記得一位廣告界朋友說，生意不景時，企業最先削減的就是廣告開支。那豈不表示，廣告多寡可作經濟或股市的「領先指標」？如果我有足夠的人力物力，或可編製「全港報章廣告指數」，追溯回七十年代，其「預測力」便可驗證一下。可惜我只是一名潦倒的專欄作者，人微言輕，此一「革命性」提議多會湮沒在歷史的洪流之中。
想到自己懷才不遇，不禁望窗長嘆。窗外的景色，活像一張報紙；大廈外牆是廣告，巴士車身是廣告，小巴車身是廣告，的士車頂是廣告，派傳單的人舉着廣告，商場入口的地面也好像貼着廣告。報紙動輒四成是廣告，窗外視線的廣告不比報紙的少。
呢個地方點解咁多廣告？我想，這是物質豐裕的結果。當服裝店只有幾款襯衣，鞋店只有幾款皮鞋，文具店只有幾款原子筆，根本沒有賣廣告的必要；反觀今天，超級市場連啤酒、朱古力、香口膠都有十幾種，宣傳便顯得非常重要。競爭愈激烈，宣傳愈重要。
在富裕的社會，廣告蔓延似乎是不能逆轉的趨勢，我們能夠容忍多少廣告呢？收費報章把廣告推至什麼密度，我們才不願意買？免費報章把廣告推至什麼密度，我們才不願意拿？或許沒有固定的答案，一切都是習慣。有報章賣五成半廣告，便有報章嘗試六成，然後六成半、七成……不斷試探讀者的底線。我們到底有沒有底線？
想一想，平時觀看電視劇，不轉台，顯然覺得廣告長度還「可以接受」，你猜一小時的黃金時段包含多少廣告？八分鐘？十分鐘？十幾分鐘？
今晚年初二，我計過無線電視九時至十時的總廣告時間，是 13 分 35 秒；如果連新聞簡報計算在內，更達 14 分 45 秒。如果我問你，一小時的劇集，中斷了差不多十五分鐘，你認為「可以接受」嗎？我接受唔到囉，不過我仍然在看。
（2012 年 1 月 28 日 信報副刋）
那人是我，我正在量度報紙廣告的面積。
平日翻開報紙，碰口碰面都是全版廣告；近年盛行的免費報章更甚，廣告多過內容。不禁要問，今日的報紙，多少版面用來賣廣告？讀者能夠容忍多少廣告呢？
這問題在腦中縈繞了一段日子，近日終於一鼓作氣，拿起家中 1 月 9 日及 12 日兩份舊《信報》量一量。只量《信報》無甚意思，當然要找其他收費報章比較比較，於是到中央圖書館找來同日期的《蘋果》、《東方》、《星島》、《明報》及《經濟日報》，花了逾三小時量度共十份報紙的廣告面積，你猜哪份廣告最多？
| 廣告佔版面百分比 | ||
| 2012 年 1 月 9 日 | 2012 年 1 月 12 日 | |
| 1 | 經濟 59.6% | 東方 51.4% |
| 2 | 東方 54.8% | 經濟 47.5% |
| 3 | 蘋果 43.2% | 蘋果 46.4% |
| 4 | 明報 38.6% | 明報 36.9% |
| 5 | 星島 26.4% | 星島 34.1% |
| 6 | 信報 24.4% | 信報 30.9% |
（註：《星島》、《經濟》及《信報》付送小報，以上數字已把小報計算在內，唯《星島》例外。圖書館保留的《星島》不包括小報，計算已把其面積剔除。）
與你的印象或觀感相符嗎？有想過付錢買報紙，動輒四成是「水份」？
對我來說，最意外是《經濟》和《信報》印象中屬於同一「類型」，非大眾化，讀者群較窄，但廣告份量竟有天壤之別，兩份報紙顯然採取兩種不同的經營手段。以廣告份量觀之，《經濟》似《蘋果》和《東方》多過似《信報》。
免費報紙不收分文，純靠賣廣告為生，廣告版面會否更多？我沒時間翻看所有免費報，唯有以自稱「全港 No.1 最多人睇嘅」《頭條日報》為代表，找來 1 月 16 日及 17 日兩份，其廣告佔版面分別是 62.6% 和 65.9%，果然比收費報章高，但不算高出很多。
除了滿足好奇心，留意報紙廣告面積還有什麼實際用途？記得一位廣告界朋友說，生意不景時，企業最先削減的就是廣告開支。那豈不表示，廣告多寡可作經濟或股市的「領先指標」？如果我有足夠的人力物力，或可編製「全港報章廣告指數」，追溯回七十年代，其「預測力」便可驗證一下。可惜我只是一名潦倒的專欄作者，人微言輕，此一「革命性」提議多會湮沒在歷史的洪流之中。
想到自己懷才不遇，不禁望窗長嘆。窗外的景色，活像一張報紙；大廈外牆是廣告，巴士車身是廣告，小巴車身是廣告，的士車頂是廣告，派傳單的人舉着廣告，商場入口的地面也好像貼着廣告。報紙動輒四成是廣告，窗外視線的廣告不比報紙的少。
呢個地方點解咁多廣告？我想，這是物質豐裕的結果。當服裝店只有幾款襯衣，鞋店只有幾款皮鞋，文具店只有幾款原子筆，根本沒有賣廣告的必要；反觀今天，超級市場連啤酒、朱古力、香口膠都有十幾種，宣傳便顯得非常重要。競爭愈激烈，宣傳愈重要。
在富裕的社會，廣告蔓延似乎是不能逆轉的趨勢，我們能夠容忍多少廣告呢？收費報章把廣告推至什麼密度，我們才不願意買？免費報章把廣告推至什麼密度，我們才不願意拿？或許沒有固定的答案，一切都是習慣。有報章賣五成半廣告，便有報章嘗試六成，然後六成半、七成……不斷試探讀者的底線。我們到底有沒有底線？
想一想，平時觀看電視劇，不轉台，顯然覺得廣告長度還「可以接受」，你猜一小時的黃金時段包含多少廣告？八分鐘？十分鐘？十幾分鐘？
今晚年初二，我計過無線電視九時至十時的總廣告時間，是 13 分 35 秒；如果連新聞簡報計算在內，更達 14 分 45 秒。如果我問你，一小時的劇集，中斷了差不多十五分鐘，你認為「可以接受」嗎？我接受唔到囉，不過我仍然在看。
（2012 年 1 月 28 日 信報副刋）
2012年1月21日星期六
為什麼有些東西總是貴得離譜？
上星期的故事發生在一百年之後的 2112 年，那是一個對消費者呵護備至的年代，政府對商戶定價採取各種限制，不准「誤導」消費者。例如，$10.9、$99、$779 往往給人一種「錯覺」，像比「齊頭數」低了一截，吸引消費者付錢。此外，「1,533」和「1533」雖然只差一個逗號，西方人傾向把前者讀成「one thousand five hundred thirty three」，後者讀成「fifteen thirty three」，前繁後簡，故後者給人數額較細的感覺。在那虛構的世界，為了保障消費者，價格不能「9」字尾，四位數亦一定要寫逗號；在今日的世界，「9」字尾舉目皆是，沒寫逗號的四位數常見不常見？「逗號效應」的硏究最近才公開，但是零售商有這樣的直覺不足為奇，一些大公司的市場硏究部亦可能早已洞悉，這兩天行年宵辦年貨的時候，大家不妨多加留意。
還有什麼技倆令價錢看上去更「抵買」呢？假設今晚行年宵，你遇到以下情況。
走着走着，看見一個賣Ｔ恤的攤位，Ｔ恤沒有花紋，沒有公仔，沒有品牌，平平無奇，標價 $999，你心想，「獅子開大口」，有人肯買才怪！隔鄰，賣 iPad，沒有標價，大字寫着「平貴隨意」，你抵不住好奇的誘惑，走過去看看葫蘆裏賣的是什麼藥。原來，檔主急於清倉，願以低於市價出售手上的 iPad，他又不願意主動開價，所以採用一種非常特別的售賣方式；由顧客提出價錢，然後從黑箱抽出一張價錢紙，如果出價高於價錢紙，顧客一定要以出價將 iPad 買下；相反，如果出價低於或等於價錢紙，那 iPad 便不會出售，交易告吹。你不知道黑箱載着什麼價錢紙，如果你真的想買，便要認真考慮願意付多少錢，出價愈低成交機會愈低，但出價又不能過份進取，超過願意負擔的水平，這不是說着玩的遊戲，要真金白銀付鈔的。另一方面，檔主也不怕有人故意提出超低價碰運氣，因為黑箱內的最低價錢紙保障了利潤。
你凝望着那 64GB、Wi-Fi + 3G、官方售價 $6,488 的銀白色 iPad，好想給女友／男友／兒子／女兒／生命裏最重要的人一件最難忘的新年賀禮，你會出一口什麼的價？
在這最重要的時刻，我問你一條無關痛癢的問題：相不相信隔鄰攤位那 $999 大元一件的超高價Ｔ恤會影響你的出價？你不耐煩地說，梗係唔會啦。
我再告訴你一個難以置信的事實：以上情況差不多是 2004 年一次實驗的翻版，那次實驗顯示，隔鄰攤位一件超高價Ｔ恤竟會拉高顧客願買ＣＤ機的價錢（那時還有人聽ＣＤ）；兩件風馬牛不相及的產品，一件不合理的高價竟會提高另一件的「合理價」？你說，天方夜譚。
很多人都不相信，但實驗結果就是這樣。人總愛認為自己很理性，但人就是阻擋不了環境的影響，那怕只是一件貴得離譜的爛Ｔ恤。
精明的商人不必做實驗，也有這種直覺。某些商店會擺出一件價值連城的精品，標着一個常人無法付得起的高價，未必「不合理」，但與 $999 一件爛Ｔ恤一樣，總之沒有正常人願意付。除了博取宣傳之外，是否令店內其他商品顯得相對便宜的一種策略？
政府官員好像沒有這種直覺。記得幾年前，市民埋怨高樓價之聲初起，一些官員還在理性分析，說升幅集中在豪宅，未及一般住宅云云。當Ｔ恤的價錢能夠影響ＣＤ機，世上還有什麼價格不能影響其他價格？
（2012 年 1 月 21 日 信報副刋）
學術參考：
Joseph C. Nunes, Peter Boatwright (2004), “Incidental Prices and Their Effect on Willingness to Pay,” Journal of Marketing Research 41, 4, 457-466.
還有什麼技倆令價錢看上去更「抵買」呢？假設今晚行年宵，你遇到以下情況。
走着走着，看見一個賣Ｔ恤的攤位，Ｔ恤沒有花紋，沒有公仔，沒有品牌，平平無奇，標價 $999，你心想，「獅子開大口」，有人肯買才怪！隔鄰，賣 iPad，沒有標價，大字寫着「平貴隨意」，你抵不住好奇的誘惑，走過去看看葫蘆裏賣的是什麼藥。原來，檔主急於清倉，願以低於市價出售手上的 iPad，他又不願意主動開價，所以採用一種非常特別的售賣方式；由顧客提出價錢，然後從黑箱抽出一張價錢紙，如果出價高於價錢紙，顧客一定要以出價將 iPad 買下；相反，如果出價低於或等於價錢紙，那 iPad 便不會出售，交易告吹。你不知道黑箱載着什麼價錢紙，如果你真的想買，便要認真考慮願意付多少錢，出價愈低成交機會愈低，但出價又不能過份進取，超過願意負擔的水平，這不是說着玩的遊戲，要真金白銀付鈔的。另一方面，檔主也不怕有人故意提出超低價碰運氣，因為黑箱內的最低價錢紙保障了利潤。
你凝望着那 64GB、Wi-Fi + 3G、官方售價 $6,488 的銀白色 iPad，好想給女友／男友／兒子／女兒／生命裏最重要的人一件最難忘的新年賀禮，你會出一口什麼的價？
在這最重要的時刻，我問你一條無關痛癢的問題：相不相信隔鄰攤位那 $999 大元一件的超高價Ｔ恤會影響你的出價？你不耐煩地說，梗係唔會啦。
我再告訴你一個難以置信的事實：以上情況差不多是 2004 年一次實驗的翻版，那次實驗顯示，隔鄰攤位一件超高價Ｔ恤竟會拉高顧客願買ＣＤ機的價錢（那時還有人聽ＣＤ）；兩件風馬牛不相及的產品，一件不合理的高價竟會提高另一件的「合理價」？你說，天方夜譚。
很多人都不相信，但實驗結果就是這樣。人總愛認為自己很理性，但人就是阻擋不了環境的影響，那怕只是一件貴得離譜的爛Ｔ恤。
精明的商人不必做實驗，也有這種直覺。某些商店會擺出一件價值連城的精品，標着一個常人無法付得起的高價，未必「不合理」，但與 $999 一件爛Ｔ恤一樣，總之沒有正常人願意付。除了博取宣傳之外，是否令店內其他商品顯得相對便宜的一種策略？
政府官員好像沒有這種直覺。記得幾年前，市民埋怨高樓價之聲初起，一些官員還在理性分析，說升幅集中在豪宅，未及一般住宅云云。當Ｔ恤的價錢能夠影響ＣＤ機，世上還有什麼價格不能影響其他價格？
（2012 年 1 月 21 日 信報副刋）
學術參考：
Joseph C. Nunes, Peter Boatwright (2004), “Incidental Prices and Their Effect on Willingness to Pay,” Journal of Marketing Research 41, 4, 457-466.
2012年1月15日星期日
廁紙對摺 13 次
有冇諗過將一卷廁紙對摺 13 次？有冇可能？
Well，一卷廁紙對摺唔到 13 次。每摺一次都會加厚，厚度以 2 的 n 次方上升，而且裡面的層次會皺起，對摺 13 次不是聽上去般容易。
片段中，美國麻省 St Mark's School 學生將多卷廁紙連埋，總長 1200 米，對摺 13 次後，變成一疊 1.5 米闊，76 厘米高，8192 層咁厚的廁紙。
香港有沒有老師願意接受挑戰，帶領學生對摺廁紙 14 次？
Source: New Scientist
2012年1月14日星期六
年宵監察員的一個晚上
這是 2112 年農曆除夕夜，我坐在消費者保障局（Customer Protection Agency）的中央閉路電視控制室，監察着維多利亞公園年宵市場的動靜。
或許你已經猜到，消費者保障局前身是消費者委員會。約九十年前，市民對大財團剝削無孔不入的怨氣日重，社會漸漸冒出日用品應受價格管制的呼聲；可是，在香港這個表面上奉行自由經濟的地方，赤裸裸的價格管制是不容發生的，經過多月周旋和討價還價，「退而求其次」的方案是消費者委員會納入政府架構，成立消費者保障局，並立法禁止商人採用具「誤導性」的定價，新法例由消費者保障局嚴格執行。對消費者呵護備至之風由香港吹起，發達地區紛紛仿效。
我今晚負責監視維園年宵市場，確保商販沒有標出「誤導性」價格。一般消費者只懂消費，他們需要保護。
聽長輩說，在很久以前，還容許自由定價的時候，市面上經常見到「9」字尾的標價，例如 $10.9 一袋麵包、$99 一件 T 恤、$779 一對波鞋，據說這會製造「錯覺」，使人覺得標價比「齊頭數」便宜很多，具某程度的「誤導性」，後來法例禁止了。
不准「9」字尾，那「8」字尾怎樣？$10.8、$98、$778 不是一樣有點兒「誤導」嗎？這個明顯漏洞當然知道，所以法例禁止「4」至「9」字尾的標價，頂多只可標 $10.3、$93、$773，能否有效保護消費者，言人人殊，法例總得畫條界線，數字總得有個字尾。
閉路電視所見，「3」字尾的標價排山倒海。
「嘟嘟……」電腦響起警號，人工智能察覺有些異狀。兩個攤位位置相約，以類似價錢售賣類似貨品，但光顧人流明顯有別，是否有些不顯眼的「誤導性」銷售手法？人工智能提出疑問，人類負責追查。細看之下，兩個攤位都是賣年花，質素相約，價格差不多相同，看不到「厚此薄彼」的理由。我扭開監聽器，偷聽檔主和顧客的說話。
「一千五百多塊，太貴了，便宜一點可以嗎？」
……
「一五三三？比去年貴了五成，怎麼可能？」
……
聽了一會，發現一個有趣現象，在那生意興隆的攤位，顧客喜愛「串」出價錢，如「一五三三」；在那乏人問津的攤位，顧客多用「傳統」的說數字方式，如「一千五百三十三」，或乾脆說「一千五百多塊」，為什麼？我調校閉路電視，放大兩邊的價錢牌，你猜我看見什麼？前者寫着「1533」，後者寫着「1,533」，一個逗號之差。看來那個逗號有種魔力，能夠「逗」人以較費勁的方式說數字，產生數額較大的錯覺；略去逗號，方便清脆利落地串出數字，數額自然顯得較細。假如我的猜想正確，沒有逗號的「1533」便是一種具「誤導性」的標價，容易使人「誤以為」價錢較低。然而，在香港這個表面上法治的地方，入罪不能靠我的猜想，必須有些表面的真憑實據。
大約一個世紀前，對消費者呵護備至之風未起，外國流行消費者行為的硏究，探討一些「旁門左道」能令消費者願意付錢的技倆，以今日的氛圍觀之，那是赤裸裸剝削消費者的手段，政治不正確，這類硏究消聲匿跡。若能從那個年代找到一些文獻支持我的猜想，舉證便事半功倍。
哈哈，天助我也！恰好一百年前，美國一個硏究指出，有逗號的四位數字的確給人數額較大的錯覺。舉例，「1,533」容易讀成「one thousand five hundred thirty three」，「1533」容易讀成「fifteen thirty three」，前者讀得費勁，給人數額較大之感。這與我剛才的觀察和猜想不是一脈相承嗎？
「1533」屬「誤導性」標價證據確鑿，為普羅消費者的利益着想，我立即替檔主加上一個逗號，再向他發出電子告票。年宵攤位的所有價錢牌都能電子無線控制，若有充分理由，我有權刪改任何價格，甚至終止顯示。非電子控制的價錢牌在年宵市場是嚴厲禁止的。
我經常受攤位檔主唾罵，但我不介意。一百年前的硏究已經證明消費者是如此容易受誤導，他們是需要保護的。
（2012 年 1 月 14 日 信報副刋）
學術參考：
Keith S. Coulter, Pilsik Choi, Kent B. Monroe (2011), “Comma N' cents in pricing: The effects of auditory representation encoding on price magnitude perceptions,” Journal of Consumer Psychology. doi:10.1016/j.jcps.2011.11.005
或許你已經猜到，消費者保障局前身是消費者委員會。約九十年前，市民對大財團剝削無孔不入的怨氣日重，社會漸漸冒出日用品應受價格管制的呼聲；可是，在香港這個表面上奉行自由經濟的地方，赤裸裸的價格管制是不容發生的，經過多月周旋和討價還價，「退而求其次」的方案是消費者委員會納入政府架構，成立消費者保障局，並立法禁止商人採用具「誤導性」的定價，新法例由消費者保障局嚴格執行。對消費者呵護備至之風由香港吹起，發達地區紛紛仿效。
我今晚負責監視維園年宵市場，確保商販沒有標出「誤導性」價格。一般消費者只懂消費，他們需要保護。
聽長輩說，在很久以前，還容許自由定價的時候，市面上經常見到「9」字尾的標價，例如 $10.9 一袋麵包、$99 一件 T 恤、$779 一對波鞋，據說這會製造「錯覺」，使人覺得標價比「齊頭數」便宜很多，具某程度的「誤導性」，後來法例禁止了。
不准「9」字尾，那「8」字尾怎樣？$10.8、$98、$778 不是一樣有點兒「誤導」嗎？這個明顯漏洞當然知道，所以法例禁止「4」至「9」字尾的標價，頂多只可標 $10.3、$93、$773，能否有效保護消費者，言人人殊，法例總得畫條界線，數字總得有個字尾。
閉路電視所見，「3」字尾的標價排山倒海。
「嘟嘟……」電腦響起警號，人工智能察覺有些異狀。兩個攤位位置相約，以類似價錢售賣類似貨品，但光顧人流明顯有別，是否有些不顯眼的「誤導性」銷售手法？人工智能提出疑問，人類負責追查。細看之下，兩個攤位都是賣年花，質素相約，價格差不多相同，看不到「厚此薄彼」的理由。我扭開監聽器，偷聽檔主和顧客的說話。
「一千五百多塊，太貴了，便宜一點可以嗎？」
……
「一五三三？比去年貴了五成，怎麼可能？」
……
聽了一會，發現一個有趣現象，在那生意興隆的攤位，顧客喜愛「串」出價錢，如「一五三三」；在那乏人問津的攤位，顧客多用「傳統」的說數字方式，如「一千五百三十三」，或乾脆說「一千五百多塊」，為什麼？我調校閉路電視，放大兩邊的價錢牌，你猜我看見什麼？前者寫着「1533」，後者寫着「1,533」，一個逗號之差。看來那個逗號有種魔力，能夠「逗」人以較費勁的方式說數字，產生數額較大的錯覺；略去逗號，方便清脆利落地串出數字，數額自然顯得較細。假如我的猜想正確，沒有逗號的「1533」便是一種具「誤導性」的標價，容易使人「誤以為」價錢較低。然而，在香港這個表面上法治的地方，入罪不能靠我的猜想，必須有些表面的真憑實據。
大約一個世紀前，對消費者呵護備至之風未起，外國流行消費者行為的硏究，探討一些「旁門左道」能令消費者願意付錢的技倆，以今日的氛圍觀之，那是赤裸裸剝削消費者的手段，政治不正確，這類硏究消聲匿跡。若能從那個年代找到一些文獻支持我的猜想，舉證便事半功倍。
哈哈，天助我也！恰好一百年前，美國一個硏究指出，有逗號的四位數字的確給人數額較大的錯覺。舉例，「1,533」容易讀成「one thousand five hundred thirty three」，「1533」容易讀成「fifteen thirty three」，前者讀得費勁，給人數額較大之感。這與我剛才的觀察和猜想不是一脈相承嗎？
「1533」屬「誤導性」標價證據確鑿，為普羅消費者的利益着想，我立即替檔主加上一個逗號，再向他發出電子告票。年宵攤位的所有價錢牌都能電子無線控制，若有充分理由，我有權刪改任何價格，甚至終止顯示。非電子控制的價錢牌在年宵市場是嚴厲禁止的。
我經常受攤位檔主唾罵，但我不介意。一百年前的硏究已經證明消費者是如此容易受誤導，他們是需要保護的。
（2012 年 1 月 14 日 信報副刋）
學術參考：
Keith S. Coulter, Pilsik Choi, Kent B. Monroe (2011), “Comma N' cents in pricing: The effects of auditory representation encoding on price magnitude perceptions,” Journal of Consumer Psychology. doi:10.1016/j.jcps.2011.11.005
2012年1月7日星期六
自大狂
每人心中都有兩張紙。
一張記載着自己的歷史：曾經做過什麼、曾經沒做過什麼、有什麼建樹、犯過什麼的錯、交過什麼朋友、與誰人鬧翻、多少共聚天倫的歡笑、為多少雞毛蒜皮的小事頂嘴……
另一張寫着未來的憧憬和打算：要賺多少的錢、要增加多少營業額、要找個怎樣的伴侶、要買多貴的樓、今晚食乜餸、死之前要去的 101 處地方……
這兩張紙決定 who we are，我們怎樣看自己，認為自己是個怎麼樣的人。撫心自問，你是個怎麼樣的人？
（一）你屬於最有領導才能的頭 50% 嗎？
（二）你屬於最善長人際關係的頭 50% 嗎？
（三）你屬於最誠實可靠的頭 50% 嗎？
驚奇地，70% 的人認為自己領導才能屬於頭 50%，85% 的人認為自己人際關係屬於頭 50%，第三題沒有數據在手，但相信頭 50% 的名額同樣「供不應求」。心理學家經過多年調查，發現人有高估自己的傾向，大部分人總覺得自己「叻」過大部分人，這是人類心理最顯著的特徵之一，叫法很多：the above-average effect、illusory superiority、self-enhancement 都可以，香港人說「自大狂」。
在公眾場合，尤其競選，當然有抬高自己踩低別人的動機，這是刻意的；可是，上述心態萌生於內心，是潛意識的。我們的潛意識憑什麼認為自己優勝？
每人心中那兩張紙，能夠提供一點線索。
一張記載過去，一張勾畫未來，好像兩份試卷，是評核一個人的依據。認真思考一下，若你要給自己評分，兩張試卷應各佔多少比重？
換個角度，若你要給第三者評分，兩張試卷又應各佔多少比重？
曾有實驗問過類似問題（當然比我問得詳細和清晰，以上是經消化和簡化後的版本），結果是，自我評估相對於評估他人，前者比較重視未來的比重。將來通常是美好的，自己的評分給「拉高」也就不足為奇。豈不是雙重標準？這也難怪；看自己，兩份試卷一目了然；看他人，過去的試卷不難觀察，未來的試卷你能窺見多少？過去的所作所為路人皆見，未來的憧憬和志向誰會盡吐心中情？
檢視他人，較為着重過去；檢視自己，難免「幻想」潛能得以發揮，「沉醉」夢想得以實現，自我感覺良好，「自大狂」由是而生。
撇除未來，只看過去，「自大狂」會消失嗎？試試另一個實驗，你考了五次 mock exam，成績分別是 66%、85%、93%、79% 及 75%，你估你正式考試會得幾多分？
另一人，同樣考了五次 mock exam，成績分別是 90%、88%、71%、69% 及 85%，你估佢正式考試會得幾多分？
實驗發現，估自己的分數傾向往績的上限，估別人的分數傾向往績的平均。這是「自大狂」的另一來源；預測自己的成績，愛對自己說：「我曾經咁勁，下一次應該都會咁勁。」預測別人成績，則會眉頭緊鎖：「分數時高時低，估佢唔到，中間着墨算了。」
看自己和看別人抱着兩種不同心態，這個雙重標準嵌進潛意識之中。或許，「自大狂」是潛意識保持自尊的技倆。在這個拜金的社會，金錢即自尊，新一年祝大部分讀者賺錢多過大部分讀者。
（2012 年 1 月 7 日 信報副刋）
學術參考：
Elanor F. Williams, Thomas Gilovich (2011), “The better-than-my-average effect: The relative impact of peak and average performances in assessments of the self and others,” Journal of Experimental Social Psychology. doi:10.1016/j.jesp.2011.11.010
Elanor F. Williams, Thomas Gilovich (2008), “Conceptions of the Self and Others Across Time,” Personality and Social Psychology Bulletin, 34, 1037. doi:10.1177/0146167208317603
一張記載着自己的歷史：曾經做過什麼、曾經沒做過什麼、有什麼建樹、犯過什麼的錯、交過什麼朋友、與誰人鬧翻、多少共聚天倫的歡笑、為多少雞毛蒜皮的小事頂嘴……
另一張寫着未來的憧憬和打算：要賺多少的錢、要增加多少營業額、要找個怎樣的伴侶、要買多貴的樓、今晚食乜餸、死之前要去的 101 處地方……
這兩張紙決定 who we are，我們怎樣看自己，認為自己是個怎麼樣的人。撫心自問，你是個怎麼樣的人？
（一）你屬於最有領導才能的頭 50% 嗎？
（二）你屬於最善長人際關係的頭 50% 嗎？
（三）你屬於最誠實可靠的頭 50% 嗎？
驚奇地，70% 的人認為自己領導才能屬於頭 50%，85% 的人認為自己人際關係屬於頭 50%，第三題沒有數據在手，但相信頭 50% 的名額同樣「供不應求」。心理學家經過多年調查，發現人有高估自己的傾向，大部分人總覺得自己「叻」過大部分人，這是人類心理最顯著的特徵之一，叫法很多：the above-average effect、illusory superiority、self-enhancement 都可以，香港人說「自大狂」。
在公眾場合，尤其競選，當然有抬高自己踩低別人的動機，這是刻意的；可是，上述心態萌生於內心，是潛意識的。我們的潛意識憑什麼認為自己優勝？
每人心中那兩張紙，能夠提供一點線索。
一張記載過去，一張勾畫未來，好像兩份試卷，是評核一個人的依據。認真思考一下，若你要給自己評分，兩張試卷應各佔多少比重？
換個角度，若你要給第三者評分，兩張試卷又應各佔多少比重？
曾有實驗問過類似問題（當然比我問得詳細和清晰，以上是經消化和簡化後的版本），結果是，自我評估相對於評估他人，前者比較重視未來的比重。將來通常是美好的，自己的評分給「拉高」也就不足為奇。豈不是雙重標準？這也難怪；看自己，兩份試卷一目了然；看他人，過去的試卷不難觀察，未來的試卷你能窺見多少？過去的所作所為路人皆見，未來的憧憬和志向誰會盡吐心中情？
檢視他人，較為着重過去；檢視自己，難免「幻想」潛能得以發揮，「沉醉」夢想得以實現，自我感覺良好，「自大狂」由是而生。
撇除未來，只看過去，「自大狂」會消失嗎？試試另一個實驗，你考了五次 mock exam，成績分別是 66%、85%、93%、79% 及 75%，你估你正式考試會得幾多分？
另一人，同樣考了五次 mock exam，成績分別是 90%、88%、71%、69% 及 85%，你估佢正式考試會得幾多分？
實驗發現，估自己的分數傾向往績的上限，估別人的分數傾向往績的平均。這是「自大狂」的另一來源；預測自己的成績，愛對自己說：「我曾經咁勁，下一次應該都會咁勁。」預測別人成績，則會眉頭緊鎖：「分數時高時低，估佢唔到，中間着墨算了。」
看自己和看別人抱着兩種不同心態，這個雙重標準嵌進潛意識之中。或許，「自大狂」是潛意識保持自尊的技倆。在這個拜金的社會，金錢即自尊，新一年祝大部分讀者賺錢多過大部分讀者。
（2012 年 1 月 7 日 信報副刋）
學術參考：
Elanor F. Williams, Thomas Gilovich (2011), “The better-than-my-average effect: The relative impact of peak and average performances in assessments of the self and others,” Journal of Experimental Social Psychology. doi:10.1016/j.jesp.2011.11.010
Elanor F. Williams, Thomas Gilovich (2008), “Conceptions of the Self and Others Across Time,” Personality and Social Psychology Bulletin, 34, 1037. doi:10.1177/0146167208317603
2011年12月31日星期六
心算萬年曆，你也做得到
很羡慕星期一專欄的作者，連續兩星期恰逢信報休刋日（12 月 26 日聖誕翌日及 1 月 2 日元旦翌日），得以在佳節期間頓筆小休。
活了三十餘年，今年才發覺聖誕和元旦恰好七天之隔，必定在同一星期天！這「發現」本來不值一哂，但推而廣之，可以幫助我們不看日曆也能輕鬆推算某日星期幾。讓我循序漸進，帶領大家學習心算萬年曆。
26 號之外，12 月還有哪天星期一？簡單，19 號、12 號、5 號，26 減去 7 的倍數就是。
今年 10 月 31 日萬聖節是星期幾？逐星期減太慢太煩，幸好有條捷徑。每年 4 月 4 日、6 月 6 日、8 月 8 日、10 月 10 日和 12 月 12 日都在同一星期天；今年 12 月 12 日是星期一，即是 10 月 10 日也是星期一，萬聖節與 10 月 10 日相差 21 天，是 7 的倍數，萬聖節也是星期一。以上五天可稱為日曆上的「地標」，方便我們在月份之間穿梭。2011 年地標全部都是星期一。
今年 7 月 1 日香港回歸紀念日是星期幾？要用另一條捷徑。每年 5 月 9 日、9 月 5 日、7 月 11 日和 11 月 7 日都是地標日；換句話說，今年 7 月 11 日是星期一，7 月 4 日也是星期一，7 月 1 日就是星期五。以上四天不難記，只要記着「朝九晚五」和「7-11 便利店」。
現在 4 至 12 月都有地標，還欠頭三個月。2 月最後一日永遠是地標（平年 28 日，閏年 29 日）；七日後的 3 月 7 日順理成章成了 3 月的地標，為方便記憶，可以 3 月 “0” 日代替（即 3 月 1 日前一天）；1 月最麻煩，在四年一遇的閏年，地標是 1 月 4 日，其餘年份是 1 月 3 日。
2011 年地標是星期一，下年地標星期幾？2012 是閏年，366 除 7 得餘數 2，故地標順延兩天，是星期三。平年順延一天，2013 地標將是星期四。
1989 年 6 月 4 日星期幾？逐年推算地標太慢太煩，又需要捷徑。捷徑是有的，可是，與其再加一條捷徑，不如介紹一條「一站式」公式，一次過推算星期天；該公式把以上所有捷徑結合並簡化，盲目運算便可，省卻上述推理的腦汁，在香港這個「求學只是求分數」的地方，我們無謂尋根問底，總之背熟公式，在老師、長輩和異性心目中「攞分」最重要。我親身試過這條公式，找些遙遠的日子計算，能在五十秒內得出正確答案，速度不算驚人，但我只是一名初哥。
以下介紹公式四步驟，以 1989 年 6 月 4 日作例：
「年」= 1989
「月」= 6
「日」= 4
「心」= 心中記着的數字，整個運算過程只需記着一個數
第一步：
第二步：
對照下表，根據「年」所在的世紀，把頂行數字（0、2、4 或 5）加進「心」中。
例：1989 屬於 1900 世紀，「心」= 1 + 4 = 5。
第三步：
下表列出每月的地標，找出地標日，加進「心」中。
例：6 月的地標日為 6 號，5 + 6 = 11，除 7，餘 4。「心」= 4。
第四步；
「日」減「心」，再除 7，餘數就是星期天。（1 = 星期一；2 = 星期二，類推。）
例：4 - 4 = 0？不打緊，0 即是星期日，-1 即是星期六，-2 即是星期五，類推。
1989 年 6 月 4 日是個星期日，一個血紅色的星期日。
這條公式由 Mike Walter 及 Chamberlain Fong 在 2009 年發明，遠比舊式的捷徑方便易用，當中牽涉一些不淺的數學和聰明點子，有興趣考究的讀者不妨登上：
http://firstsundaydoomsday.blogspot.com/
篇幅所限，就此停筆，祝各位來年順景，事事如意。
註一：為什麼最早只到 1500 世紀？因為現時的公曆（Gregorian calendar）在 1582 年才建立。各地採用公曆的時間不一，意大利在 1582 年，英國及其殖民地遲至 1752 年。
註二：一個鮮為人知的事實，「00」字尾的年份，給 400 除得盡的才是閏年，其餘是平年。1600 和 2000 是閏年，1700、1800、1900 不是。
（2011 年 12 月 31 日 信報副刋）
活了三十餘年，今年才發覺聖誕和元旦恰好七天之隔，必定在同一星期天！這「發現」本來不值一哂，但推而廣之，可以幫助我們不看日曆也能輕鬆推算某日星期幾。讓我循序漸進，帶領大家學習心算萬年曆。
26 號之外，12 月還有哪天星期一？簡單，19 號、12 號、5 號，26 減去 7 的倍數就是。
今年 10 月 31 日萬聖節是星期幾？逐星期減太慢太煩，幸好有條捷徑。每年 4 月 4 日、6 月 6 日、8 月 8 日、10 月 10 日和 12 月 12 日都在同一星期天；今年 12 月 12 日是星期一，即是 10 月 10 日也是星期一，萬聖節與 10 月 10 日相差 21 天，是 7 的倍數，萬聖節也是星期一。以上五天可稱為日曆上的「地標」，方便我們在月份之間穿梭。2011 年地標全部都是星期一。
今年 7 月 1 日香港回歸紀念日是星期幾？要用另一條捷徑。每年 5 月 9 日、9 月 5 日、7 月 11 日和 11 月 7 日都是地標日；換句話說，今年 7 月 11 日是星期一，7 月 4 日也是星期一，7 月 1 日就是星期五。以上四天不難記，只要記着「朝九晚五」和「7-11 便利店」。
現在 4 至 12 月都有地標，還欠頭三個月。2 月最後一日永遠是地標（平年 28 日，閏年 29 日）；七日後的 3 月 7 日順理成章成了 3 月的地標，為方便記憶，可以 3 月 “0” 日代替（即 3 月 1 日前一天）；1 月最麻煩，在四年一遇的閏年，地標是 1 月 4 日，其餘年份是 1 月 3 日。
2011 年地標是星期一，下年地標星期幾？2012 是閏年，366 除 7 得餘數 2，故地標順延兩天，是星期三。平年順延一天，2013 地標將是星期四。
1989 年 6 月 4 日星期幾？逐年推算地標太慢太煩，又需要捷徑。捷徑是有的，可是，與其再加一條捷徑，不如介紹一條「一站式」公式，一次過推算星期天；該公式把以上所有捷徑結合並簡化，盲目運算便可，省卻上述推理的腦汁，在香港這個「求學只是求分數」的地方，我們無謂尋根問底，總之背熟公式，在老師、長輩和異性心目中「攞分」最重要。我親身試過這條公式，找些遙遠的日子計算，能在五十秒內得出正確答案，速度不算驚人，但我只是一名初哥。
以下介紹公式四步驟，以 1989 年 6 月 4 日作例：
「年」= 1989
「月」= 6
「日」= 4
「心」= 心中記着的數字，整個運算過程只需記着一個數
第一步：
| 例：1989 年 6 月 4 日 | |
| • 抽出「年」的後二位數字，若單數，加 11； | 89 + 11 = 100 |
| • 除以 2； | 100 ÷ 2 = 50 |
| • 若單數，加 11。 | 50 是雙數，步驟完成。我們只關注星期天，七天一循環，故可把 50 除 7，餘 1。「心」= 1。 |
第二步：
對照下表，根據「年」所在的世紀，把頂行數字（0、2、4 或 5）加進「心」中。
| 0 | 2 | 4 | 5 |
| 不適用（註一） | 不適用（註一） | 1500 | 1600 |
| 1700 | 1800 | 1900 | 2000 |
| 2100 | 2200 | 2300 | ... |
例：1989 屬於 1900 世紀，「心」= 1 + 4 = 5。
第三步：
下表列出每月的地標，找出地標日，加進「心」中。
| 月份 | 地標日 |
| 1 | 平年 3；閏年 4（註二） |
| 2 | 平年 0；閏年 1（註二） |
| 3 | 0 |
| 4 | 4 |
| 5 | 9 |
| 6 | 6 |
| 7 | 11 |
| 8 | 8 |
| 9 | 5 |
| 10 | 10 |
| 11 | 7 |
| 12 | 12 |
例：6 月的地標日為 6 號，5 + 6 = 11，除 7，餘 4。「心」= 4。
第四步；
「日」減「心」，再除 7，餘數就是星期天。（1 = 星期一；2 = 星期二，類推。）
例：4 - 4 = 0？不打緊，0 即是星期日，-1 即是星期六，-2 即是星期五，類推。
1989 年 6 月 4 日是個星期日，一個血紅色的星期日。
這條公式由 Mike Walter 及 Chamberlain Fong 在 2009 年發明，遠比舊式的捷徑方便易用，當中牽涉一些不淺的數學和聰明點子，有興趣考究的讀者不妨登上：
http://firstsundaydoomsday.blogspot.com/
篇幅所限，就此停筆，祝各位來年順景，事事如意。
§
註一：為什麼最早只到 1500 世紀？因為現時的公曆（Gregorian calendar）在 1582 年才建立。各地採用公曆的時間不一，意大利在 1582 年，英國及其殖民地遲至 1752 年。
註二：一個鮮為人知的事實，「00」字尾的年份，給 400 除得盡的才是閏年，其餘是平年。1600 和 2000 是閏年，1700、1800、1900 不是。
（2011 年 12 月 31 日 信報副刋）
2011年12月29日星期四
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