2011年7月28日 星期四

做人應該識轉軚

來屆特首選舉已經冒出三位疑似選候人 -- 甲、乙、丙。某大地產商與甲是世交,支持甲理所當然,但身為精明商人,斷不做蝕本生意,最穩當還是上京探探口風,揣摩揣摩中央意旨,再作部署。一天拜會中央大員,酒席間,二人略帶醉意,地產商從口袋掏出甲、乙、丙三張卡片,攤到桌上,用半鹹不淡的普通話說:「你……不用告訴我誰當特首……只用告訴我……誰當不了特首。」故作搖頭擺腦,假裝醉得厲害。中央大員搖着食指:「用你們香港的說法,你真『鬼馬』!」地產商一笑:「我不是『鬼馬』……我只想知道哪一匹是真的馬,哪一匹是假的馬。」大員笑着,沉默片刻,說:「說給你聽也無妨,他是假的。」指着丙。

回港後,地產商把經過告訴智囊。智囊眉頭一皺:「看來你要轉軚了。」「什麼?」「甲是你的朋友,但乙的贏面較高。」「我不明白,甲乙不是機會均等嗎?」「表面上係,不過……好難解釋,不如我跟你玩個遊戲。」智囊掏出三張撲克牌,攤在桌上:「三張牌之中,有一張係葵扇A,你估邊張?」地產商指一指左邊,智囊一聲不響,翻開中間那一張,說:「你看見了,中間這一張不是葵扇A,現在剩下左、右兩張牌,你原本揀左邊,現在我問你,轉唔轉軚揀右邊?」「唔轉,照揀左邊。」答案揭曉,葵扇A在右,地產商沒有抓緊轉軚機會,怨不得人。

遊戲規則是這樣的,地產商作了選擇之後,智囊翻開另外兩張牌其中一張,但一定不會翻出葵扇A,保持神秘,看地產商轉不轉軚。這遊戲與地產商向中央大員收風的方式不謀而合,大員心知地產商與甲友好,即使甲非「真命天子」,也不會當場道破,正如智囊不會翻開地產商選中的那張撲克牌,只會在其餘二者之中翻開(不是葵扇A的)一張。當然,甲可能是「真命天子」,地產商也可以選中葵扇A,那中央大員便在乙和丙中隨意說一位,智囊也在其餘二張牌中隨意翻一張,再看地產商轉不轉軚。

「一次啫,再嚟過!」地產商不憤,餘下兩張牌分明機會均等,怎可能轉軚贏面較高,玩多幾次便見真章。智囊奉陪,今次地產商仍不轉軚,又錯。如此這般玩了二十鋪,地產商漸漸發覺轉軚好像「有着數」,開始改變策略,智囊忍不住說:「我早已告訴你,應該轉軚的。」最終玩了三十鋪,地產商轉軚十四次,對了八次,成功率 57%;反之,不轉軚十六次,對了五次,成功率 31%。轉軚顯然是最優策略。

地產商不明箇中道理,智囊解釋:「如果一開始選中葵扇A,你應該轉軚嗎?」「不該。」「一開始選中葵扇A的機會多少?」「三分一。」「即是說,有三分一情況你不該轉軚,同意?」「OK。」「如果一開始選不中葵扇A,你應該轉軚嗎?」「……」「葵扇A係一號,你選了二號,我逼不得已翻開三號,你應該轉軚嗎?」「應該……啩。」「一開始選不中葵扇A的機會多少?」「三分二。」「即是說,有三分二情況你應該轉軚,同意?」「又好似係喎。」「轉軚贏面三分二,不轉軚贏面三分一,你應該考慮放棄你的好朋友。」地產商沉默不語。

§

故事說完,談談情節出處。智囊的撲克牌遊戲是 Monty Hall problem 的變種,Monty Hall 是美國某遊戲節目的主持人,節目裡有三扇門,其中一扇背後藏着大獎,參加者作出猜測之後,Monty Hall 會敞開另外一扇(沒有隱藏大獎的)門,問參加者轉不轉軚(轉軚是上策,可是許多參加者不信)。已故數學家 Martin Gardner 在 1959 年 Scientific American 雜誌也提出 Three Prisoners problem,三位死囚之中,州長赦免一人,死囚甲說服獄卒透露誰不得赦免,以為如此便可提高生存機率(事實上,甲被赦免的機會不變,仍是三分一)。

Monty Hall problem、Three Prisoners problem、智囊的撲克牌遊戲及地產商的收風方法,四者全是同一問題的變種,數學上是相等的。每個處境都有一位「投機者」及「內幕人士」,投機者說:「我買一號。」內幕人士回應:「千萬不要買二號。」內幕人士礙於規則、文化、禮貌等因素不會直接評論投機者的選擇,結果是,三號的勝算即時提高,一號勝算不變。換句話說,二號的勝算給了三號,一號沒有得益。

依然半信半疑的讀者,可以想像智囊與地產商玩一次大規模的撲克遊戲。桌上攤着一百張牌,只有一張葵扇A。地產商說:「我揀呢張。」智囊翻開其餘九十八張(不是葵扇A的)牌,只剩地產商的「心儀目標」和最後一張蓋着,地產商應否轉軚?我是他的話,一定轉軚。

依然不信?最好自己做一做實驗。故事裡撲克遊戲的數據不是虛構,是我與妹妹親身試驗的結果,證明轉軚真正是上策,我才敢寫這篇文章的。

(2011 年 7 月 28 日 信報副刊)

參考:Scientific American

8 則留言:

  1. 投機者說:「我買一號。」內幕人士回應:「千萬不要買二號。」

    在下認為:結果是,三號和一號的勝算一齊提高,勝算均由三分之一提高為二分之一。

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  2. 不對不對,三號有「着數」,一號無變。

    再讀文章一遍,或試玩吓文中的撲克遊戲便清楚。

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  3. 不對不對,三號有無「着數」,與「中央大員」的行為尤關。舉例說,若換成特首問題的情景,而「中央大員」其實很厭惡丙候選人;若丙是花瓶的話,他會直接說出來。在此情況下,若他指出丙是花瓶,只表示甲、乙有同等勝出機會,而不是甲有 1/3,乙有 2/3。

    你所述的 Monty Hall problem (下稱 MHP),基本上與原來的版本相同,但原本的解答其實假設了主持人對打開那一道門並無偏好,而 MHP 的 problem statement 卻無明確表示這個假設成立,因此不能推論出「應該轉軚」的結論。你的文章連結了英文維基百科的 Monty Hall problem 條目,當中 "Other host behaviors" 一節,羅列了主持人的不同行為對答案的影響,不妨一看。

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  4. 夠細心,說得對,勝算如何分配給餘下二人,視乎大員說丙的「邏輯」。以我的邏輯,甲的勝算 1/3,乙的勝算 2/3。以你的邏輯,甲乙勝算均等。我們無法知道大員的邏輯,文中說法確是有些武斷。

    不過,轉軚的結論沒有錯。根據英文維基 Other host behaviors 一節,轉軚的勝算下限 1/2(可能大於 1/2),不轉軚的勝算上限 1/2(可能小於 1/2),在無法準確計算機率的情形下,轉軚還是較「穩陣」,一定唔會「蝕底」。

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  5. Would you talk about the railroad signal system in your next post?

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  6. 如此「專業」的題材留給專家評說吧。市面上的報導也不少,我也沒有獨到見解 add to the discussion。

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  7. i've read your articles in 信報. they're so inspiring! keep it up!

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  8. Hi Nick.

    just sent you an emial, please check and let me know what your think.
    thanks a lot~~

    caorline.

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