2011年9月1日 星期四

這篇文章無咩用

數字推理,空格內應填上什麼?

1, 2, 3, 5, 8, 13, ___, 34, 55, 89, ___, 233

答案:21, 144。這是舉世聞名的 Fibonacci Sequence,可稱作「費氏數列」,每項都是前二項之和。

香港這個功利社會,事事講求實用,每一個課程,每一門學科,每一項研究,每一點新知,大家都會本能地問:有咩用?費氏數列,除了數字推理,有咩用?

Fibonacci 是一位中世紀數學家,生於比薩(Pisa,比薩斜塔所在),其名來自“fils de Bonaccio”,即“son of Bonaccio”的意思。傳說某天父親問兒子,今天帶一雙幼兔回家,任由其自由繁衍,一年後家中會有多少兔子?這裡當然要作些假設。首先,假設幼兔需要一個月才發育成熟,進行交配,懷孕一個月後誕下一雙幼兔;分娩後再次交配,一個月後誕下另一雙幼兔,如此下去,每月生產一雙。新生幼兔的歷程和父母一樣,發育一個月,以後每月生產一雙。假設沒有兔子死亡,十二個月後共有幾雙兔子?

每月的兔子雙數就在費氏數列之內。一個月後 1 雙,四個月後 5 雙,八個月後 34 雙,十二個月後 233 雙。半信半疑的讀者歡迎逐月點算。

這就是費氏數列的用途,除了在數字推理攞分,也可在爸爸心目中加分。除此之外,仲有咩用?

大家應該聽過「黃金比率」。自然界很多尺寸,人體很多部分的比例,許多歷史性建築物的長闊,攝影大師的構圖,都符合黃金比率。簡單來說,符合黃金比率的物件看上去總是特別的「美」,古希臘數家學甚至把黃金比率與「完美」扯上關係。黃金比率的準確數值為 (1+√5)/2,即是多少?那平方根很嚇人,費氏數列提供了一條捷徑。把費氏數列每一項除以前一項,其商數會趨近黃金比率:

5/3 = 1.66666...
89/55 = 1.61818...
233/144 = 1.61805...
黃金比率 = 1.61803...

神奇不神奇?黃金比率與費氏數列的關係千絲萬縷,前者在大自然屢見不鮮,後者亦不會罕見。

記得一個電視廣告,女生拿着菊花,一邊剝花瓣,一邊數着「鍾意佢,唔鍾意佢……」,你估菊花通常有多少塊花瓣?視乎品種,可能有 21、34、55 或 89 塊,全屬費氏數列,這是植物學家的說法。我上網搜尋菊花照片以作印證,多數照片未能清楚顯示花瓣數目,勉強數一數,得出結果與上述數字頗為吻合,相差不過一至二塊。根據植物學一貫說法,很多花卉都有費氏花瓣數目;原本只是用來推算一群虛構兔子的費氏數列,怎與現實世界的花朵扯上關係?

這還不只。相信大家見過松果,當你從底部觀察,會發現松果的「瓣」形成一組向右或向左的螺旋,數一數,螺旋數目應該也是費氏數值。

現在仰頭看看樹葉,怎樣在樹枝上排列的呢?十八世紀植物學家 Charles Bonnet 說得好,讓我抄襲他的說法。想像一條圓柱體樹幹,垂直畫五條直線,平均分佈在圓柱體表面;放一塊葉在第一條線的底部,放第二塊葉在第三條線較高之處,沿着同一方向,第三塊葉放在第五條線,第四塊葉放在第二條線,第五塊葉放在第四條線,第六塊葉回到第一條線,開始新的一圈。換句話說,五塊葉繞樹幹兩圈,葉與葉之間的角度為 2/5 圈,或 144 度。這是其中一種排列,其他排列包括(但不限於):1/2(兩葉繞一圈,最簡單)、1/3(三葉繞一圈)、3/8(八葉繞三圈)、5/13(十三葉繞五圈)。除了最簡單的 1/2 之外,有沒有發覺分子與分母在費氏數列隔着一項?

為何費氏數列無處不在?坦白說,科學家不明原因,可能與細胞生長的機制有關,很多猜想,但沒人知道誰的正確。許多自然現象都是這樣,發現容易,解釋困難。

樹葉是光合作用之所,其排列是否為收集最多陽光而設?科學家創作了很多模擬樹葉排列和陽光照射的模型,嘗試計算那種排列最佳,據我所知,未有定論。或許他們太沉醉於自己的模型「玩具」,忽略了另一更容易、更踏實的研究途徑 -- 實驗。

科學家忘記做的實驗,最近給美國紐約州十三歲少年 Aidan Dwyer 捷足先登。某年冬天,他到郊外遠足,被各適其式的樹枝和樹葉吸引住。從此,他收集各種樹葉進行研究,基本上重新發現以上各種排列模式。是否有助收集陽光呢?他用鐵枝代替樹幹,自製了一棵矮樹,再模仿 2/5 的樹葉模式把一片片太陽能電池裝上,這是一棵以太陽能電池代替樹葉的鐵樹。此外,他把同等數量的太陽能電池平鋪在木板之上,如一般太陽能電池板一樣。兩者放在陽光之下,答案呼之欲出了吧 -- 鐵樹產生的電能比平板多出 20%!

為什麼鐵樹較優勝呢?沒人知道。Aidan 猜想是因為鐵樹的樹葉不會全部被其他樹影遮擋,故總體來說較能維持生電。又是那一句,知道 what 容易,知道 why 困難。

知道費氏數列主宰樹葉排列,有咩用?對 Aidan 而言,這是擺放太陽能電池的新方法,他已經申請了專利,將來可能賺得盤滿砵滿。對我而言,這是賺點稿費的小把戲,編輯收貨已經心滿意足。對你而言,sorry,費氏數列真係無咩用,除了在數字推理和爸爸心目中加分之外。

(2011 年 9 月 1 日 信報副刊)

學術參考:
I. Adler, D. Barabe, R. V. Jean (1997), “A History of the Study of Phyllotaxis,” Annals of Botany, 80, 231-244.

Lynn D. Newton (1987), “Fibonacci and Nature: Mathematics Investigations for Schools,” Mathematics in School, 16, 5, 2-8.

G. J. Mitchison (1977), “Phyllotaxis and the Fibonacci Series,” Science, 196, 270-275.

5 則留言:

  1. 費氏數列真係無咩用, 而且浪費了我數分數的時間去閱讀.

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  2. 都不是無用,至少考政府工也會考的。

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  3. 大話連篇的禿鷹應該向作者學習.

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  4. What's the utility of pure maths? I mean while it is still pure -- with absolutely no relationship to real world problems.

    Sooner or later, many pure math will find their applications in the most bizarre fashion.

    The Fibonacci sequence is used in computer programming and music.

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