區議會選舉有舞弊的跡象嗎？

2009 年伊朗總統大選，艾哈邁迪內賈德擊敗三位對手成功連任。遠在波蘭，一位學者看着伊朗內政部公佈的點票結果，發覺有點異樣；排名第三的候選人卡魯比在某些選區的得票有點「不尋常」，那些選區恰好正是艾哈邁迪內賈德大勝的區域。「不尋常」之處，關乎卡魯比得票的第一位數字；你沒看錯，只看頭一個數字，便可窺見選舉有沒有「造馬」。

記得中學數學課，高中之前不准用計算機，那時計算 log（對數）需要查表的；有了計算機之後，至今二十多年未碰過對數表了。在沒有計算機的年代，對數表是理科不可或缺的工具；1881 年，美國天文及數學家 Simon Newcomb 發現一個有趣現象，圖書館的對數表「1」字頭那頁永遠是最骯髒和最殘舊的，往後一頁比一頁清潔，人們好像遇到「1」和「2」字頭的數字特別多，遇到「8」和「9」字頭的數字特別少；他更提出一條方程式，說「d」字頭的出現概率為 log(1+1/d)，把「1」至「9」代入「d」的位置，便得出「1」字頭的出現概率約為 30%，「2」字頭約為 17%，逐個減少，「9」字頭只有 4.5%。換句話說，日常遇到的數字，大約每三個便有一個是「1」字頭，為什麼「1」字頭這麼普遍？

Newcomb 沒有解釋，只說該條規律「顯而易見」（"evident"），我等凡人不得不驚嘆數學家對數字的「直覺」。可能就是過於「顯而易見」的關係，Newcomb 沒有找來更多事例，這話題也就此沉寂，不了了之。

五十七年過去，來到 1938 年。通用電氣公司物理學家 Frank Benford 在不知情的情況下重複同一發現，但他更進一步，從現實世界找來多種數據，包括讀者文擇出現的數字、門牌號碼、各國人口、河流長度、棒球聯賽統計數字、原子量（atomic weight）、物理常數等，範疇包羅萬有，總共超過二萬個數字，其字頭分佈與 log(1+1/d) 不謀而合！此現象從此稱為 Benford's Law，班福特定律。可是，Benford 依然沒有解釋為什麼，Benford's Law 雖有實證作根據，卻無甚理論基礎。

又過五十七年（世事多麼巧合！），1995 年美國數學家 Theodore Hill 終有突破，他以嚴謹的數學方法證明，從多種數據來源隨機抽樣得出的數字，其字頭一定符合 log(1+1/d) 分佈，即「1」字頭出現大約 30%，「2」字頭約 17% ……「8」字頭約 5.1%，「9」字頭約 4.5%。這裡不能公式化談數學，我姑且用日常文字嘗試解釋一下。想一想，恒生指數由 1,000 點升至 2,000 點較難，還是 2,000 點升至 3,000 點較難？前者升幅 100%，後者升幅 50%，顯然前者較難。由 2,000 點跌至 1,000 點較難，還是 3,000 點跌至 2,000 點較難？前者跌幅 50%，後者跌幅 33%，也是前者較難。換句話說，恒生指數「1」字頭的時間（1,000-1,999 點）應比「2」字頭的時間（2,000-2,999 點）為長，以此類推，逗留於「3」、「4」……「8」、「9」字頭應該漸次縮短，直至到達 10,000 點，重回「1」字頭，開始另一循環。假設恒生指數長遠而言維持若干每年平均升幅，它逗留在各字頭的時段應該合符 Benford's Law 的比例。

這是一個籠統的解說，粗略點出「1」字頭常見性的來源，道理如何擴展至人口、河流長度、物理常數等風馬牛不相及的領域，在避談公式化數學的前提下無法說得清，我們只有相信 Hill 的數學論證。

那究竟什麼種類的數字合符 Benford's Law？籠統地說，「自然產生」的數字通常符合。地震的深度、地球磁場逆轉的時距、放射性物質的半衰期、脈衝星的轉速等，全部符合 Benford's Law（自然界給我們的數據，這是「自然產生」的第一個含意）。各國人口、原油蘊藏量、溫室氣體排放、傳染病例數目、報稅表的賬目、選舉所得票數等，也符合 Benford's Law（真實的、未經竄改的統計數字，這是「自然產生」的第二個含意）。留意第二類，這提供一個偵測虛報或作弊的途徑，假如某公司長期提供一些不夠「Benford」的稅務資料，那可能是逃稅的跡象；假如點票結果不夠「Benford」，那可能是舞弊的線索。文首提到伊朗總統候選人卡魯比在某些選區得票「不尋常」，所指的就是違背 Benford's Law。

大家要小心，哪些數據合符 Benford's Law 沒有絕對的標準，完全公正的選舉未必符合，舞弊的選舉未必不符，Benford's Law 只可視為一種跡象或線索，絕不應視為確鑿證據。

區議會選舉剛過，不如「就地取材」，拿全部候選人得票第一位數字作個統計，看結果有多「Benford」。下圖所見，「1」和「2」字頭特多，但形態大致上合符 Benford's Law。這算是舞弊的跡象嗎？很難說，每選區人口二萬人左右，可能選區人口加上投票率加上候選人之間的典型差距造就「1」和「2」字頭特別容易出現，又或者其他想得出的原因。上面說過，公正的選舉未必合符 Benford's Law，舞弊的選舉未必不符，現在冒出多一個問題，偏離多遠才算「事有蹺蹊」呢？作為偵測舞弊的工具，Benford's Law 實在太多局限。


香港的選舉大致上都是公開公正的，大家都有信心，即使點票結果與 Benford's Law 不盡相符，我們傾向把「疑點利益」歸於建全的制度，忙替現實與理論的差距找「藉口」，而非動輒懷疑選舉舞弊，也許我們應該慶幸活在這樣一個廉潔的地方。

學術參考：
M. Sambridge, H. Tkalčić, A. Jackson (2010), “Benford’s Law in the Natural Sciences,” Geophysical Research Letters 37, L22301. doi:10.1029/2010GL044830

Boudewijn F. Roukema (2009), “Benford’s Law Anomalies in the 2009 Iranian Presidential Election,” arXiv:0906.2789

R. M. Fewster (2009), “A Simple Explanation of Benford’s Law,” The American Statistician 63, 26-32. doi:10.1198/tast.2009.0005

Theodore P. Hill (1998), “The First Digit Phenomenon,” American Scientist 86, 358.

Theodore P. Hill (1995), “A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law,” Statistical Science 10, 354-363.