我不是足球迷，家中只有免費電視，又懶得上網找直播，世盃資訊只有靠電視和網上報道。對我來說，今屆最「引人入勝」之處，不是上屆冠、亞軍慘淡出局，不是那個新款皮球，亦不是場上球星一舉一動，而是賽後重溫「驚喜」頻頻。
登上 ESPN 足球網站，除了射門、犯規、角球、越位、控球比率等見慣的統計數字外，竟然見到一幅前所未見的圖像，顯示每位球員在該場比賽的平均位置（average position），腦際即時泛起一個疑問：如何追蹤球員的位置？場上 22 位球員，是否需要 22 人搜集資料？不用人手的話，背後又是什麼樣的科技？
免費電視重溫賽果，往往附帶一些詡詡如生的動畫分析入球過程，這又是什麼回事？沒有實時追蹤球員位置，如此逼真的畫面製作不了。還是，依靠錄影片段繪成動畫？
原來，這是世界盃首次對球場上的「物體」引入實時追蹤，科技由一間名為 Tracab 的瑞典公司提供，根據其網頁，此系統的誤差少於 10 厘米，不單只追蹤所有球員，還包括三位球證和一個皮球，對球場上 26 件「物體」的位置瞭如指掌。世界盃這個世人觸目的大舞台，當然不會使用一些未經考驗的科技，Tracab 系統首於 2005 年瑞典皇家聯賽（Swedish Royal League）面世，後獲俄羅斯、奧地利、匈牙利、土耳其的本土聯賽、2008 年歐洲國家盃和 2009 年洲際國家盃採用，去年 6 月累積追蹤了 1,500 場賽事，「實戰經驗」不容置疑。
這項科技改良自軍用的飛彈導航技術，系統包括兩組相隔不少於 15 米的攝錄機，每組八個鏡頭，即 16 個鏡頭俯瞰全場，球場每一部分至少兩個鏡頭覆蓋，較擠擁的區域（如禁區）或許更多，以提高解像度。原理不難明，要決定一件物體的三維座標，最少需從兩個角度觀之，就像我們單眼視物沒有深度，必須雙眼才可認清物件的正確位置。某程度上，這系統比人眼更先進，球場某些部分是被三隻「眼」覆蓋的。大部分時間，系統懂得自動追蹤場上 26 件「物體」，遇上一些球員異常密集的情況（如開角球或圍着球證申訴），才可能需要兩位真人操作員介入。
打個岔，談談體育數據市場的生態。Tracab 的位置數據只是眾多統計項目的其中一環，世界盃還有一間綜合數據供應商，整合所有統計及相關資訊，並配上適當的畫面供給電視台。自 2002 年至今三屆世界盃，其綜合數據供應商是一間名為 Deltatre 的意大利公司。換句話說，先有 Tracab 的實時追蹤，再經 Deltatre 包裝內容傳至本地電視台，我們才得享免費的三維球賽動畫。
追蹤技術不是 Tracab 獨有，美國的 STATS LLC 亦擁有類似技術。今年 4 月，STATS LLC 獲得歐洲聯賽冠軍盃的追蹤技術合約，相信來年歐聯的統計數據必會愈來愈豐富。
說來諷刺，最流行的隊際運動是足球，數據最貧乏的也是足球。對棒球和籃球有點認識的讀者，必會發現足球的所謂統計是如何的粗糙；由於缺乏數據，球員的優劣亦難以量化，判斷全靠觀感。足球比賽的性質是其缺乏數據的底因，入球稀少不在話下，其流暢節奏使「可數的」項目十分有限，球員的貢獻往往「隱沒」在複雜的組織之下。幸好，有了實時追蹤的位置數據，我們能對每場比賽作巨細無遺的分析。Castrol Index 就是這樣一個嘗試，今屆世盃和去季歐洲各大聯賽，Castrol Index 都有用來替球員排名。對進攻的球員來說，每次傳球和觸球給一個分數，愈近對方龍門愈具威脅，分數愈高；防守方面，成功攔截便得分，愈近己方龍門得分愈高；此外，博得十二碼和自由球也有分數。參考其官方網站，基本的計分原理不難明，可惜細節欠奉。Castrol 是潤滑油製造商，Castrol Index 很明顯是市場推廣策略，計分法如潤滑油秘方，同屬商業秘密，不難理解。
透明一點的計分法也不是沒有，最近連學者也「加入戰團」，把網絡理論應用於判別球員優劣。想像你把某隊所有球員的號碼寫於紙上，排列不拘，抽象一點看，每位球員都是一「點」。另外再加兩個特別「點」：一代表「射中龍門」，一代表「射斜」。球賽開始，2 號把皮球傳給 3 號，你在紙上記錄，由 2 號那點畫一條箭咀至 3 號那點；3 號再傳球給 7 號，你再畫箭咀由 3 號指向 7 號；若干傳球後，10 號門前勁射，越楣而去，你便畫箭咀由 10 號指向「射斜」。如此類推，球賽完畢後，這張紙便記載了一個學術上所謂的「網絡」-- 很多「點」，點與點之間有多條「路線」連接。網絡中那一點最「重要」呢？最「重要」的一點可說亦是球隊最「重要」的一員吧。
計算某點的「重要性」方法很多，網絡理論有個「betweenness centrality」的概念，簡單來說，從網絡隨意挑選兩點，兩點之間會有一條或多條最短路線，最短路線未必直接到達，可能經過一些「中途站」；挑選另外兩點，會有另外一組最短路線和「中途站」。「中途站」處於兩點之間（between），某點當「中途站」的次數愈多，它的「交通樞紐」地位（centrality）便愈形重要 -- 擁有愈多 betweenness，地位便愈是 central 了。
一班學者用以上方法分析了 2008 年歐洲國家盃的實時追蹤數據，發現西班牙的沙維和拉莫斯表現最優秀，符合一般人的觀感。其實他們「醉翁之意不在酒」，只想借足球來驗證他們的構想，看看 betweenness centrality 對衡量隊員的功效，他們更關心的，是把這概念推廣至其他「團隊」，例如一間公司或一隊科研人員的運作。
有了實時追蹤科技，很多從未想過的統計都有可能，例如某球員的最高跑速、長／中／短傳百分比、高／中／低活動時段、控球和非控球的跑動里數、皮球速度、傳球距離，有用的，沒用的，想得出就有可能，大家可到 FIFA 官方網站的統計分頁參觀一下，便會見到一個充滿統計數據的足球新世界。
（2010 年 6 月 29 日 信報副刊）
學術參考：
Jordi Duch, Joshua S. Waitzman, Luis A. Nunes Amaral (2010), “Quantifying the Performance of Individual Players in a Team Activity,” PLoS ONE 5, 6, e10937.
2010年6月29日 星期二
2010年6月22日 星期二
虛擬現實變現實
今日，我會教大家做幾件無可能的事。
坐在桌前，桌上放一隻膠手套，然後伸手到桌子底下。找位幫手，給他兩只牙刷，同時輕掃桌面的手套和桌底下的手，掃法隨意，唯一要求是兩者必須「如影隨形」，同步如一。換言之，桌底感覺到的，和桌面所見「遙相呼應」。
集中注視桌面，不要往桌底望。幾分鐘後，你自會覺得手套變成身體一部分，這是第一件無可能的事，是經典的「膠手幻覺」（rubber hand illusion）。
第二件無可能的事，是令你變成一個人體模型（時裝店櫥窗那些）。在人體模型的頭上安裝兩部攝錄機，一左一右，鏡頭向下，就像一雙眼睛望着自己的腹部。然後，你戴上一副類似虛擬現實（virtual reality）用的頭盔顯示器（head mounted displays），把左右影像分別投射於雙眼，並俯下頭。感覺上，你是望着自己的腹部；視覺上，你是望着模型的腹部。找位幫手，叫他用棉花棒輕掃模型的腹部，同時也用另一枝棉花棒輕掃你的腹部，掃法不拘，但兩者必須同步。換言之，你感到腹部被觸摸，亦見到模型的腹部被同步觸摸。
幾分鐘後，你會覺得人體模型是你的身體。若不相信自己的「直覺」，可以叫助手用刀插向模型的腹部，你必會緊張得冷汗直冒。汗是水分，會增加皮膚的導電性，用電阻計便能量度你的緊張程度；愈是「投入」人體模型，你便會愈緊張。
我這麼肯定，因為有人做過實驗，證明這種幻覺真正存在。除了訪問，科學家還會以皮膚導電性（skin conductance）來驗證實驗對象的「一面之詞」。
第三件無可能的事：自己跟自己握手（不是左手握右手，而是站在自己對面，右手握右手）。再次需要一位助手，與你對立，他頭頂兩部攝錄機，鏡頭向前，對着你。你也是戴着頭盔顯示器，雙眼看見攝錄機的影像，即是看見自己。你倆伸出右手，作握手狀，兩手重複互相擠壓（不是輪流，是兩手同時擠壓）。換言之，你右手感到擠壓的同時，也看見鏡頭的右手被擠壓。
讀到這裡，不用我說，讀者應該猜中。幾分鐘後，你會漸漸代入助手的位置，感覺就像站在自己對面，跟自己握手。
大家應該漸漸領略「遊戲規則」吧，只要視覺和觸覺吻合，我們便會不期然地把一些物件、甚至第三身「據為己有」，腦袋好像懂得把各樣感官自動連貫起來，形成一個「自我」。從前科學界認為「自我」這概念是固定、不變的，「我」必然存在於我的身軀之內，分拆不了。膠手幻覺之後，這觀念開始動搖，當初發覺某器官的「擁有權」竟然改變得了，後來發現整個「靈魂」也可以「出竅」，不只「佔據」死物模型，連活生生的身軀也可以。「我」，其實被感官操縱，外來刺激不斷肯定「我」的存在，亦可隨時否定和轉移「我」的所在。
「我」，甚至不需實物個體，完全虛擬也可以。第四件無可能的事：虛擬現實變現實。
首先，戴上虛擬現實頭盔，這次是真正的虛擬現實，視線跟隨頭顱移動。你來到一房間，看見一張椅子，坐着女孩，椅旁站着一位女人，女人輕撫着女孩的肩膊。你可以視察四周情況，熟悉環境。然後，你進入女孩的角色，女人繼續輕撫你的肩膊（視覺上），研究人員亦同步輕撫你的肩膊（觸覺上），視覺和觸覺的配合，使你「投入」女孩的角色，這個早在意料之內，不用多說。七分鐘後，研究人員停止撫摩，你亦離開女孩的身體，從屋頂望下，看見女人繼續撫着女孩。忽然，女人給女孩一記耳光，已經離開角色的你，會否依然緊張得冒汗呢？
注意，這記耳光與上面提及往人體模型插刀是有分別的，兩者都是以某些外來威脅測試實驗對象的投入程度，但後者發生在角色「扮演」中途，前者發生時已經離開角色。結果發現，皮膚導電沒有增加，角色「抽離」是成功的，不過實驗發現另一種生理反應 -- 心跳減慢（heart rate deceleration）。原來，當我們遠遠望見敵人，盤算對策之際，心跳是會減慢的；當我們目擊別人被襲，亦有同樣生理反應，不知道自己可會成為下一位受害者嘛。這次實驗發現，若你曾經投入角色，看見女孩被襲，你的心跳減慢更為明顯，原因為何，卻不清楚，可能是與角色保持某種「情意結」。
無論如何，是次實驗說明，「我」並不需要存在於任何實體，「我」所需要的，只是感官之間的配合。當視覺和觸覺編排得天衣無縫，只要給「我」幾分鐘，世上所有的虛擬，自會成為「我」的現實。
（2010 年 6 月 22 日 信報副刊）
學術參考：
Mel Slater, Bernhard Spanlang, Maria V. Sanchez-Vives, Olaf Blanke (2010), “First Person Experience of Body Transfer in Virtual Reality,” PLoS ONE 5, 5, e10564.
Valeria I. Petkova, H. Henrik Ehrsson (2008), “If I Were You: Perceptual Illusion of Body Swapping,” PLoS ONE 3, 12, e3832.
坐在桌前，桌上放一隻膠手套，然後伸手到桌子底下。找位幫手，給他兩只牙刷，同時輕掃桌面的手套和桌底下的手，掃法隨意，唯一要求是兩者必須「如影隨形」，同步如一。換言之，桌底感覺到的，和桌面所見「遙相呼應」。
集中注視桌面，不要往桌底望。幾分鐘後，你自會覺得手套變成身體一部分，這是第一件無可能的事，是經典的「膠手幻覺」（rubber hand illusion）。
第二件無可能的事，是令你變成一個人體模型（時裝店櫥窗那些）。在人體模型的頭上安裝兩部攝錄機，一左一右，鏡頭向下，就像一雙眼睛望着自己的腹部。然後，你戴上一副類似虛擬現實（virtual reality）用的頭盔顯示器（head mounted displays），把左右影像分別投射於雙眼，並俯下頭。感覺上，你是望着自己的腹部；視覺上，你是望着模型的腹部。找位幫手，叫他用棉花棒輕掃模型的腹部，同時也用另一枝棉花棒輕掃你的腹部，掃法不拘，但兩者必須同步。換言之，你感到腹部被觸摸，亦見到模型的腹部被同步觸摸。幾分鐘後，你會覺得人體模型是你的身體。若不相信自己的「直覺」，可以叫助手用刀插向模型的腹部，你必會緊張得冷汗直冒。汗是水分，會增加皮膚的導電性，用電阻計便能量度你的緊張程度；愈是「投入」人體模型，你便會愈緊張。
我這麼肯定，因為有人做過實驗，證明這種幻覺真正存在。除了訪問，科學家還會以皮膚導電性（skin conductance）來驗證實驗對象的「一面之詞」。
第三件無可能的事：自己跟自己握手（不是左手握右手，而是站在自己對面，右手握右手）。再次需要一位助手，與你對立，他頭頂兩部攝錄機，鏡頭向前，對着你。你也是戴着頭盔顯示器，雙眼看見攝錄機的影像，即是看見自己。你倆伸出右手，作握手狀，兩手重複互相擠壓（不是輪流，是兩手同時擠壓）。換言之，你右手感到擠壓的同時，也看見鏡頭的右手被擠壓。讀到這裡，不用我說，讀者應該猜中。幾分鐘後，你會漸漸代入助手的位置，感覺就像站在自己對面，跟自己握手。
大家應該漸漸領略「遊戲規則」吧，只要視覺和觸覺吻合，我們便會不期然地把一些物件、甚至第三身「據為己有」，腦袋好像懂得把各樣感官自動連貫起來，形成一個「自我」。從前科學界認為「自我」這概念是固定、不變的，「我」必然存在於我的身軀之內，分拆不了。膠手幻覺之後，這觀念開始動搖，當初發覺某器官的「擁有權」竟然改變得了，後來發現整個「靈魂」也可以「出竅」，不只「佔據」死物模型，連活生生的身軀也可以。「我」，其實被感官操縱，外來刺激不斷肯定「我」的存在，亦可隨時否定和轉移「我」的所在。
「我」，甚至不需實物個體，完全虛擬也可以。第四件無可能的事：虛擬現實變現實。
首先，戴上虛擬現實頭盔，這次是真正的虛擬現實，視線跟隨頭顱移動。你來到一房間，看見一張椅子，坐着女孩，椅旁站着一位女人，女人輕撫着女孩的肩膊。你可以視察四周情況，熟悉環境。然後，你進入女孩的角色，女人繼續輕撫你的肩膊（視覺上），研究人員亦同步輕撫你的肩膊（觸覺上），視覺和觸覺的配合，使你「投入」女孩的角色，這個早在意料之內，不用多說。七分鐘後，研究人員停止撫摩，你亦離開女孩的身體，從屋頂望下，看見女人繼續撫着女孩。忽然，女人給女孩一記耳光，已經離開角色的你，會否依然緊張得冒汗呢？
注意，這記耳光與上面提及往人體模型插刀是有分別的，兩者都是以某些外來威脅測試實驗對象的投入程度，但後者發生在角色「扮演」中途，前者發生時已經離開角色。結果發現，皮膚導電沒有增加，角色「抽離」是成功的，不過實驗發現另一種生理反應 -- 心跳減慢（heart rate deceleration）。原來，當我們遠遠望見敵人，盤算對策之際，心跳是會減慢的；當我們目擊別人被襲，亦有同樣生理反應，不知道自己可會成為下一位受害者嘛。這次實驗發現，若你曾經投入角色，看見女孩被襲，你的心跳減慢更為明顯，原因為何，卻不清楚，可能是與角色保持某種「情意結」。
無論如何，是次實驗說明，「我」並不需要存在於任何實體，「我」所需要的，只是感官之間的配合。當視覺和觸覺編排得天衣無縫，只要給「我」幾分鐘，世上所有的虛擬，自會成為「我」的現實。
（2010 年 6 月 22 日 信報副刊）
學術參考：
Mel Slater, Bernhard Spanlang, Maria V. Sanchez-Vives, Olaf Blanke (2010), “First Person Experience of Body Transfer in Virtual Reality,” PLoS ONE 5, 5, e10564.
Valeria I. Petkova, H. Henrik Ehrsson (2008), “If I Were You: Perceptual Illusion of Body Swapping,” PLoS ONE 3, 12, e3832.
2010年6月15日 星期二
哪個聯賽最具看頭？
兩星期前探討過 NBA 等北美體育聯賽的貧富懸殊，計算過球員薪酬的堅尼系數，今日故技重施，應用堅尼系數於另一類「懸殊」 -- 球隊實力。
數學上，堅尼系數只是對一堆數值的一個「撮要」，由 0 至 1，接近 0 表示數值大小分佈平均，接近 1 表示數值大小懸殊。當應用於某批人的收入，堅尼系數便是貧富懸殊的指標；當應用於球隊戰績，堅尼系數便是強弱對比的顯示。看球隊實力，最好便是翻查聯賽得分，從各隊積分計算出來的堅尼系數，便可作為某一球季該聯賽內實力懸殊的寫照。我找來最為港人熟悉的三國足球聯賽：英超聯、西球牙甲組、意大利甲組，由 1992/93 年球季（那是英超聯的首季）至今共 18 個球季，根據積分，計算每季各聯賽的堅尼系數：
留意上圖左軸，足球聯賽的堅尼系數頂多達 0.2 左右，與現實社會經常見到的 0.4 或 0.5 相距甚遠，這是非常合理的，社會上最富有的一成與最窮的一成比較，收入相差超過十倍屬等閒，但聯賽冠軍的積分通常只是「包尾」那隊的三至五倍，頂多也不過八倍，數字上看，積分懸殊當然不及貧富懸殊嚴重。
過去 18 季，三個聯賽各有一些轉變，例如意甲和西甲分別在 1994/95 和 1995/96 轉為一勝得三分（英超首季經已採用），隊數亦有變更（現時各有 20 隊），堅尼系數的美妙就在這裡，不管隊數多寡，不管得分制度，仍能替強弱懸殊下個定論。定論是否人人同意，是另一回事。不同制度對堅尼系數有何影響，我也不在這裡深究，留給熱中於體育的經濟學者吧。（此外，意甲 2005/06 球季出現假波醜聞，數隊被罰分或強逼降班，我採用罰分前的積分，秉承「錯誤」乃球賽一部分的荒謬傳統。）
一般球迷只會留意爭標形勢和來季歐聯入場劵，鮮有留意積分榜的中下游，故對整體實力差距未必掌握，堅尼系數可填補這個空缺。上圖可見，大部分日子意甲球隊實力最為懸殊，英超次之，西甲最平均，唯近數季情況逆轉，英超和西甲延續過往十年的趨勢，強弱愈見懸殊，意甲則反其道而行。話雖如此，若論過往 18 年，意甲的懸殊程度還是輕微上升的，故總體的結論是，強弱懸殊愈來愈嚴重。常有論者認為，在全球化的風潮下，貧富不均的現象只會加劇，看來足球運動亦難幸免。
這又是否代表足球聯賽愈來愈沒看頭，每季未開鑼已經估到季尾的名次呢？倒也未必。有人說，貧富懸殊不打緊，最重要是社會流動（social mobility），兩者是不同的概念。香港貧富懸殊嚴重，沒有異議，社會流動的多寡才是爭論所在，其難處是沒有一個公認的簡單指標。
足球聯賽的「社會流動」可以怎樣量度呢？設想兩個情形。假設去季和今季的排名一模一樣，這是毫無流動性；假設去季和今季的排名扯不上邊，這是「完美」的流動性。換言之，去季和今季排名的「相關性」（correlation）愈高，表示流動性愈低，反之亦然。統計學裡，兩組數字可以計算一個「相關系數」（correlation coefficient），用以表達它們有多「同步」。理論上，相關系數是由 -1 至 1，但應用於足球聯賽的現實，它不會負數，永遠都是 0 至 1，數值愈大表示流動性愈低，反之亦然。為方便理解，我把足球聯賽的流動性定義為「1 - 相關系數」，使其數值和流動性成正比，直接反映流動性的高低。
三大聯賽的每季流動性如下：
沒有明顯規律，唯一可以說的是西甲流動性較為穩定，而且偏高，兩季除外（1994/95 和 2008/09）。
既然足球聯賽的流動性這麼容易定義，為何現實世界對社會流動還沒有一個客觀標準呢？說到底，社會流動就是上一代和這一代的相關程度，說時容易，但這裡有兩處模糊。首先，上一代的「什麼」和這一代的「什麼」比較？最明顯是「收入」，但社會學家亦會關心「階層」之類的抽象分類。中國古時有士、農、工、商，一位商人即使富可敵國，一般人依然視他為最低階層，今日的職業分類繁複得多，如何排序又是另一個問題（流動既有「向上」和「向下」，自然需要排序），不同地區應否使用不同準則，亦沒有準則。社會學有些相關的分類法，但沒有公認的標準。
另一個問題是，上一代哪個「時段」跟這一代哪個「時段」相比？人有三衰六旺，哪個時段最具代表性呢？30 歲？50 歲？壯年？大家看見問題吧，不單要選擇一個時段，還要廣泛認同一個時段。
量度貧富懸殊，只需捕捉社會一剎那的「影像」；量度社會流動，需要最少兩個「影像」。社會學家對「影」什麼和何時「影」也未有共識，更沒可能對社會流動給一個如堅尼系數般簡單易明的答案了。
（2010 年 6 月 15 日 信報副刊）
堅尼系數計算器：Wessa.net
相關系數計算器：Wessa.net
鳴謝：Wessa, P. (2010), Free Statistics Software, Office for Research Development and Education, version 1.1.23-r6, URL http://www.wessa.net/
數學上，堅尼系數只是對一堆數值的一個「撮要」，由 0 至 1，接近 0 表示數值大小分佈平均，接近 1 表示數值大小懸殊。當應用於某批人的收入，堅尼系數便是貧富懸殊的指標；當應用於球隊戰績，堅尼系數便是強弱對比的顯示。看球隊實力，最好便是翻查聯賽得分，從各隊積分計算出來的堅尼系數，便可作為某一球季該聯賽內實力懸殊的寫照。我找來最為港人熟悉的三國足球聯賽：英超聯、西球牙甲組、意大利甲組，由 1992/93 年球季（那是英超聯的首季）至今共 18 個球季，根據積分，計算每季各聯賽的堅尼系數：
留意上圖左軸，足球聯賽的堅尼系數頂多達 0.2 左右，與現實社會經常見到的 0.4 或 0.5 相距甚遠，這是非常合理的，社會上最富有的一成與最窮的一成比較，收入相差超過十倍屬等閒，但聯賽冠軍的積分通常只是「包尾」那隊的三至五倍，頂多也不過八倍，數字上看，積分懸殊當然不及貧富懸殊嚴重。
過去 18 季，三個聯賽各有一些轉變，例如意甲和西甲分別在 1994/95 和 1995/96 轉為一勝得三分（英超首季經已採用），隊數亦有變更（現時各有 20 隊），堅尼系數的美妙就在這裡，不管隊數多寡，不管得分制度，仍能替強弱懸殊下個定論。定論是否人人同意，是另一回事。不同制度對堅尼系數有何影響，我也不在這裡深究，留給熱中於體育的經濟學者吧。（此外，意甲 2005/06 球季出現假波醜聞，數隊被罰分或強逼降班，我採用罰分前的積分，秉承「錯誤」乃球賽一部分的荒謬傳統。）
一般球迷只會留意爭標形勢和來季歐聯入場劵，鮮有留意積分榜的中下游，故對整體實力差距未必掌握，堅尼系數可填補這個空缺。上圖可見，大部分日子意甲球隊實力最為懸殊，英超次之，西甲最平均，唯近數季情況逆轉，英超和西甲延續過往十年的趨勢，強弱愈見懸殊，意甲則反其道而行。話雖如此，若論過往 18 年，意甲的懸殊程度還是輕微上升的，故總體的結論是，強弱懸殊愈來愈嚴重。常有論者認為，在全球化的風潮下，貧富不均的現象只會加劇，看來足球運動亦難幸免。
這又是否代表足球聯賽愈來愈沒看頭，每季未開鑼已經估到季尾的名次呢？倒也未必。有人說，貧富懸殊不打緊，最重要是社會流動（social mobility），兩者是不同的概念。香港貧富懸殊嚴重，沒有異議，社會流動的多寡才是爭論所在，其難處是沒有一個公認的簡單指標。
足球聯賽的「社會流動」可以怎樣量度呢？設想兩個情形。假設去季和今季的排名一模一樣，這是毫無流動性；假設去季和今季的排名扯不上邊，這是「完美」的流動性。換言之，去季和今季排名的「相關性」（correlation）愈高，表示流動性愈低，反之亦然。統計學裡，兩組數字可以計算一個「相關系數」（correlation coefficient），用以表達它們有多「同步」。理論上，相關系數是由 -1 至 1，但應用於足球聯賽的現實，它不會負數，永遠都是 0 至 1，數值愈大表示流動性愈低，反之亦然。為方便理解，我把足球聯賽的流動性定義為「1 - 相關系數」，使其數值和流動性成正比，直接反映流動性的高低。
三大聯賽的每季流動性如下：
沒有明顯規律，唯一可以說的是西甲流動性較為穩定，而且偏高，兩季除外（1994/95 和 2008/09）。
既然足球聯賽的流動性這麼容易定義，為何現實世界對社會流動還沒有一個客觀標準呢？說到底，社會流動就是上一代和這一代的相關程度，說時容易，但這裡有兩處模糊。首先，上一代的「什麼」和這一代的「什麼」比較？最明顯是「收入」，但社會學家亦會關心「階層」之類的抽象分類。中國古時有士、農、工、商，一位商人即使富可敵國，一般人依然視他為最低階層，今日的職業分類繁複得多，如何排序又是另一個問題（流動既有「向上」和「向下」，自然需要排序），不同地區應否使用不同準則，亦沒有準則。社會學有些相關的分類法，但沒有公認的標準。
另一個問題是，上一代哪個「時段」跟這一代哪個「時段」相比？人有三衰六旺，哪個時段最具代表性呢？30 歲？50 歲？壯年？大家看見問題吧，不單要選擇一個時段，還要廣泛認同一個時段。
量度貧富懸殊，只需捕捉社會一剎那的「影像」；量度社會流動，需要最少兩個「影像」。社會學家對「影」什麼和何時「影」也未有共識，更沒可能對社會流動給一個如堅尼系數般簡單易明的答案了。
（2010 年 6 月 15 日 信報副刊）
堅尼系數計算器：Wessa.net
相關系數計算器：Wessa.net
鳴謝：Wessa, P. (2010), Free Statistics Software, Office for Research Development and Education, version 1.1.23-r6, URL http://www.wessa.net/
2010年6月12日 星期六
「8」字橋
據說這是一間荷蘭建築公司，NL Architects，給港珠澳大橋的方案。要這個「8」字型設計，因為香港左線行車，內地右線行車，必須有個轉換線道的地方。
圖的左上方就是香港國際機場。找不到更多背景資料，可能與這個「港珠澳大橋•香港口岸國際概念設計比賽」有關，但又應該不是參賽作品，因為這個比賽看來只談「口岸」的設計，不是大橋。
2010年6月11日 星期五
現代斜塔
這是阿布扎比的 Capital Gate Tower，高 160 米，傾 18 度，仲斜過比薩斜塔，今年 1 月落成，剛被健力士評為「世上最斜的人造塔」（the furthest-leaning man-made tower）。
2010年6月9日 星期三
2010年6月3日 星期四
2010年6月1日 星期二
堅尼系數的另類應用
香港貧富懸殊，堅尼系數高踞亞洲，路人皆知。一般人不知道的是，堅尼系數怎樣計算呢？常聽人說，收入最低的 10% 只佔社會總收入的多少百分比，收入最低的 20% 又佔總收入多少百分比，推而廣之，要描繪整個社會的收入分佈，我們可以不斷說「收入最低的 x% 佔社會總收入 y%」，x 以橫軸代表，y 以縱軸代表，成下圖。
若社會完全平等，人人收入相同，圖表便是一條 45 度直線，與兩軸組成一個直角等腰三角形（下簡稱「三角形」）。現實與理想必有差距，真實的圖表必然是一條「凹」了進去的曲線。堅尼系數的定義，就是這條曲線與 45 度直線之間的面積（灰色部分）除以整個三角形的面積，亦即是灰色部分佔去三角形的面積比例。當收入完全均等，堅尼系數便是 0；當一人佔去所有收入，曲線便會緊貼雙軸，堅尼系數便是 1；現實永遠處於兩者之間，堅尼系數愈高，表示貧富愈懸殊。
我雖不算球迷，但時常留意體育消息，間中聽聞某某球星賺取天文數字的薪酬，某日忽發奇想，可否把堅尼系數的概念應用於球員薪酬，探討一下球員之間的「貧富懸殊」。不用我說，大家應該都估到，頂級球星的收入與普通球員相比，是不成比例的高出不知多少倍，但不均至什麼程度呢？嚴重過整體社會嗎？不同聯賽有何差別？本文就是由這堆好奇心驅使寫成的。說下去之前，要搞清楚一點，球員（尤其是星級球員）的收入除了球會支付的酬金，還有做代言人等「副業」，後者的報酬往往超越前者，為簡單起見，本文只着眼於前者。大家閱讀時心中有數，包括「副業」的話，「貧富懸殊」將會有增無減。
首先，要決定研究範圍。由於時間有限，資料必須輕易從網上尋獲，而且最好是我已經熟悉的聯賽。不幸地，本地最關心的歐洲足球，一般只談球會付給球會的轉會費，也見球會支付球員的總開支，但個別球員的薪酬少見公開。北美體育透明得多，那裡四大主要聯賽都不難找到球員每季的薪酬，我曾在加拿大居住多年，對四大聯賽亦有一定認識，它們將是本文的重點。四大聯賽分別是：
前三者都有「最高工資」（salary cap）的機制，不單規定球員最高年薪（通常根據年資而定），還定下每隊支出球員酬金的總上限，目的是避免一些富有的大城市球隊壟斷頂尖球員，形成貧富球隊實力懸殊。NBA 的 salary cap 定得較寬鬆，有許多法律空子供球隊鑽，NHL 和 NFL 則定得較「硬」，每個聯賽的 salary cap 細節都不同，對薪酬分佈有何影響，我不敢說。大家只要記着，前三者絕不是「自由市場」，而是有頗多「規範」，這些「規範」傾向令收入較為均等。MLB 沒有 salary cap，最似「自由市場」。
球賽性質又如何呢？籃球賽裡，經常看見一位星級球員帶起整隊球隊，獨力主宰勝負，這種「獨挑大樑」的機會，十分視乎球賽的性質和打法；籃球以外，印象中只有美式足球的四分衛有此擔大任之機，其他球員固然能夠影響賽果，但不是經常有機會作如此重大貢獻。能讓單一球星主宰勝負的賽事，堅尼系數會不會較高呢？
廢話已經說得太多，結果如下（另加幾個地區作參考，堅尼系數由低至高）：
沒有 salary cap 的 MLB 果然貧富最懸殊。最右列是我加的，希望有助了解收入分佈的結構。圖表可見，堅尼系數對貧富懸殊是個頗佳的撮要，但絕不是 the whole story。說到底，它只能形容收入曲線有多「凹」，卻沒有說明「凹」的形態。
MLB 貧富最為懸殊，可歸咎於沒有 salary cap，其餘三個聯賽的先後，我便沒有答案了，和現實世界一樣，知道貧富懸殊有多嚴重，永遠容易過解釋貧富懸殊為何這樣嚴重。當我們嘗試解決貧富不均時，又可否仿傚四大聯賽，引入「最高工資」呢？
（2010 年 6 月 1 日 信報副刊，以後逢星期二刊登）
資料來源：
國家和地區的堅尼系數來自聯合國《Human Development Report 2009》。
四大聯賽的薪酬數據分別來自：
Basketball-Reference.com，
USA Today Salaries Databases (Hockey)，
USA Today Salaries Databases (Football)，
Baseball-Reference.com。
堅尼系數運算器：
Wessa, P. (2010), Free Statistics Software, Office for Research Development and Education, version 1.1.23-r6, URL http://www.wessa.net/co.wasp
若社會完全平等，人人收入相同，圖表便是一條 45 度直線，與兩軸組成一個直角等腰三角形（下簡稱「三角形」）。現實與理想必有差距，真實的圖表必然是一條「凹」了進去的曲線。堅尼系數的定義，就是這條曲線與 45 度直線之間的面積（灰色部分）除以整個三角形的面積，亦即是灰色部分佔去三角形的面積比例。當收入完全均等，堅尼系數便是 0；當一人佔去所有收入，曲線便會緊貼雙軸，堅尼系數便是 1；現實永遠處於兩者之間，堅尼系數愈高，表示貧富愈懸殊。
我雖不算球迷，但時常留意體育消息，間中聽聞某某球星賺取天文數字的薪酬，某日忽發奇想，可否把堅尼系數的概念應用於球員薪酬，探討一下球員之間的「貧富懸殊」。不用我說，大家應該都估到，頂級球星的收入與普通球員相比，是不成比例的高出不知多少倍，但不均至什麼程度呢？嚴重過整體社會嗎？不同聯賽有何差別？本文就是由這堆好奇心驅使寫成的。說下去之前，要搞清楚一點，球員（尤其是星級球員）的收入除了球會支付的酬金，還有做代言人等「副業」，後者的報酬往往超越前者，為簡單起見，本文只着眼於前者。大家閱讀時心中有數，包括「副業」的話，「貧富懸殊」將會有增無減。
首先，要決定研究範圍。由於時間有限，資料必須輕易從網上尋獲，而且最好是我已經熟悉的聯賽。不幸地，本地最關心的歐洲足球，一般只談球會付給球會的轉會費，也見球會支付球員的總開支，但個別球員的薪酬少見公開。北美體育透明得多，那裡四大主要聯賽都不難找到球員每季的薪酬，我曾在加拿大居住多年，對四大聯賽亦有一定認識，它們將是本文的重點。四大聯賽分別是：
- NBA (National Basketball Association)：最為港人熟悉，我不多說，每隊 15 人左右（正選加後備）。
- NHL (National Hockey League)：冰上曲棍球。一隊 6 人上陣（包括守門員），正選和後備輪流上場，替換比籃球頻密，每隊 23 人左右。
- NFL (National Football League)：美式足球。一隊 11 人上陣，進攻和防守由兩批不同球員負責，位置和分工非常精細，四分衛（quarterback）最能主宰大局，每隊 56 人左右。
- MLB (Major League Baseball)：棒球。一隊 9 人上陣，雙方輪流擊球和投球，隊員之間不用太多默契，每隊 25 人左右。
前三者都有「最高工資」（salary cap）的機制，不單規定球員最高年薪（通常根據年資而定），還定下每隊支出球員酬金的總上限，目的是避免一些富有的大城市球隊壟斷頂尖球員，形成貧富球隊實力懸殊。NBA 的 salary cap 定得較寬鬆，有許多法律空子供球隊鑽，NHL 和 NFL 則定得較「硬」，每個聯賽的 salary cap 細節都不同，對薪酬分佈有何影響，我不敢說。大家只要記着，前三者絕不是「自由市場」，而是有頗多「規範」，這些「規範」傾向令收入較為均等。MLB 沒有 salary cap，最似「自由市場」。
球賽性質又如何呢？籃球賽裡，經常看見一位星級球員帶起整隊球隊，獨力主宰勝負，這種「獨挑大樑」的機會，十分視乎球賽的性質和打法；籃球以外，印象中只有美式足球的四分衛有此擔大任之機，其他球員固然能夠影響賽果，但不是經常有機會作如此重大貢獻。能讓單一球星主宰勝負的賽事，堅尼系數會不會較高呢？
廢話已經說得太多，結果如下（另加幾個地區作參考，堅尼系數由低至高）：
| 堅尼系數 | 最窮 10% 佔整體收入 | 最富 10% 佔整體收入 | 最窮 50% 佔整體收入 | |
| 美國 | 0.408 | 1.9% | 29.9% | --- |
| 中國 | 0.415 | 2.4% | 31.4% | --- |
| 新加坡 | 0.425 | 1.9% | 32.8% | --- |
| 香港 | 0.434 | 2.0% | 34.9% | --- |
| NHL | 0.456 | 2.3% | 29.9% | 16.9% |
| NBA | 0.524 | 0.6% | 34.2% | 13.5% |
| NFL | 0.569 | 1.8% | 43.8% | 13.1% |
| MLB | 0.615 | 1.2% | 57.3% | 8.1% |
沒有 salary cap 的 MLB 果然貧富最懸殊。最右列是我加的，希望有助了解收入分佈的結構。圖表可見，堅尼系數對貧富懸殊是個頗佳的撮要，但絕不是 the whole story。說到底，它只能形容收入曲線有多「凹」，卻沒有說明「凹」的形態。
MLB 貧富最為懸殊，可歸咎於沒有 salary cap，其餘三個聯賽的先後，我便沒有答案了，和現實世界一樣，知道貧富懸殊有多嚴重，永遠容易過解釋貧富懸殊為何這樣嚴重。當我們嘗試解決貧富不均時，又可否仿傚四大聯賽，引入「最高工資」呢？
（2010 年 6 月 1 日 信報副刊，以後逢星期二刊登）
資料來源：
國家和地區的堅尼系數來自聯合國《Human Development Report 2009》。
四大聯賽的薪酬數據分別來自：
Basketball-Reference.com，
USA Today Salaries Databases (Hockey)，
USA Today Salaries Databases (Football)，
Baseball-Reference.com。
堅尼系數運算器：
Wessa, P. (2010), Free Statistics Software, Office for Research Development and Education, version 1.1.23-r6, URL http://www.wessa.net/co.wasp
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