心算萬年曆，你也做得到

很羡慕星期一專欄的作者，連續兩星期恰逢信報休刋日（12 月 26 日聖誕翌日及 1 月 2 日元旦翌日），得以在佳節期間頓筆小休。

活了三十餘年，今年才發覺聖誕和元旦恰好七天之隔，必定在同一星期天！這「發現」本來不值一哂，但推而廣之，可以幫助我們不看日曆也能輕鬆推算某日星期幾。讓我循序漸進，帶領大家學習心算萬年曆。

26 號之外，12 月還有哪天星期一？簡單，19 號、12 號、5 號，26 減去 7 的倍數就是。

今年 10 月 31 日萬聖節是星期幾？逐星期減太慢太煩，幸好有條捷徑。每年 4 月 4 日、6 月 6 日、8 月 8 日、10 月 10 日和 12 月 12 日都在同一星期天；今年 12 月 12 日是星期一，即是 10 月 10 日也是星期一，萬聖節與 10 月 10 日相差 21 天，是 7 的倍數，萬聖節也是星期一。以上五天可稱為日曆上的「地標」，方便我們在月份之間穿梭。2011 年地標全部都是星期一。

今年 7 月 1 日香港回歸紀念日是星期幾？要用另一條捷徑。每年 5 月 9 日、9 月 5 日、7 月 11 日和 11 月 7 日都是地標日；換句話說，今年 7 月 11 日是星期一，7 月 4 日也是星期一，7 月 1 日就是星期五。以上四天不難記，只要記着「朝九晚五」和「7-11 便利店」。

現在 4 至 12 月都有地標，還欠頭三個月。2 月最後一日永遠是地標（平年 28 日，閏年 29 日）；七日後的 3 月 7 日順理成章成了 3 月的地標，為方便記憶，可以 3 月 “0” 日代替（即 3 月 1 日前一天）；1 月最麻煩，在四年一遇的閏年，地標是 1 月 4 日，其餘年份是 1 月 3 日。

2011 年地標是星期一，下年地標星期幾？2012 是閏年，366 除 7 得餘數 2，故地標順延兩天，是星期三。平年順延一天，2013 地標將是星期四。

1989 年 6 月 4 日星期幾？逐年推算地標太慢太煩，又需要捷徑。捷徑是有的，可是，與其再加一條捷徑，不如介紹一條「一站式」公式，一次過推算星期天；該公式把以上所有捷徑結合並簡化，盲目運算便可，省卻上述推理的腦汁，在香港這個「求學只是求分數」的地方，我們無謂尋根問底，總之背熟公式，在老師、長輩和異性心目中「攞分」最重要。我親身試過這條公式，找些遙遠的日子計算，能在五十秒內得出正確答案，速度不算驚人，但我只是一名初哥。

以下介紹公式四步驟，以 1989 年 6 月 4 日作例：

「年」= 1989
「月」= 6
「日」= 4
「心」= 心中記着的數字，整個運算過程只需記着一個數

第一步：

	例：1989 年 6 月 4 日
• 抽出「年」的後二位數字，若單數，加 11；	89 + 11 = 100
• 除以 2；	100 ÷ 2 = 50
• 若單數，加 11。	50 是雙數，步驟完成。我們只關注星期天，七天一循環，故可把 50 除 7，餘 1。「心」= 1。

第二步：
對照下表，根據「年」所在的世紀，把頂行數字（0、2、4 或 5）加進「心」中。

0	2	4	5
不適用（註一）	不適用（註一）	1500	1600
1700	1800	1900	2000
2100	2200	2300	...

例：1989 屬於 1900 世紀，「心」= 1 + 4 = 5。

第三步：
下表列出每月的地標，找出地標日，加進「心」中。

月份	地標日
1	平年 3；閏年 4（註二）
2	平年 0；閏年 1（註二）
3	0
4	4
5	9
6	6
7	11
8	8
9	5
10	10
11	7
12	12

例：6 月的地標日為 6 號，5 + 6 = 11，除 7，餘 4。「心」= 4。

第四步；
「日」減「心」，再除 7，餘數就是星期天。（1 = 星期一；2 = 星期二，類推。）
例：4 - 4 = 0？不打緊，0 即是星期日，-1 即是星期六，-2 即是星期五，類推。

1989 年 6 月 4 日是個星期日，一個血紅色的星期日。

這條公式由 Mike Walter 及 Chamberlain Fong 在 2009 年發明，遠比舊式的捷徑方便易用，當中牽涉一些不淺的數學和聰明點子，有興趣考究的讀者不妨登上：
http://firstsundaydoomsday.blogspot.com/

篇幅所限，就此停筆，祝各位來年順景，事事如意。

§

註一：為什麼最早只到 1500 世紀？因為現時的公曆（Gregorian calendar）在 1582 年才建立。各地採用公曆的時間不一，意大利在 1582 年，英國及其殖民地遲至 1752 年。

註二：一個鮮為人知的事實，「00」字尾的年份，給 400 除得盡的才是閏年，其餘是平年。1600 和 2000 是閏年，1700、1800、1900 不是。

（2011 年 12 月 31 日 信報副刋）

磁石使你口吃

看看 transcranial magnetic stimulation 怎樣擾亂你的語言能力，及其硏究大腦的用途。

粒子如何變上帝？

瑞士和法國邊界的大型強子對撞器（Large Hadron Collider，簡稱 LHC）今年真是豐收，9 月創造可能違反相對論的超光速微中子（見 10 月 8 日本欄），如今不到三個月，遍尋不獲的「上帝粒子」（the "God" particle）又在那裏現身！

上帝粒子原名希格斯粒子（Higgs particle），由 Peter Higgs 和五位物理學家在 1964 年提出其存在的可能性，理論上「應該」存在，實際是否存在當時無法深究，要等待足夠能量的粒子對撞器建成才能做實驗。Peter Higgs 顯然不是上帝，那希格斯粒子有何能耐被稱為上帝粒子呢？

上帝又叫「神」。一些高高在上、遙不可及的原則或理想，我們稱作「神聖」；高不可攀的夢中情人，我們叫做「女神」；神，是捉不到的。物理學有幾個大理論，古典力學形容日常物體和天體的動態，相對論解釋質量、時間、空間的互動，標準模型（Standard Model）則是基本粒子世界的規律。基本粒子是拆不開的粒子，可說是物質最細的組成部分，它們之間的吸引、排斥、演變就是由標準模型解釋的。一個理論最「煞食」的地方是成功預測某事件的發生或某物體的存在，上世紀六十年代標準模型開始成型的時候，很多基本粒子還未發現，標準模型已經預測它們的存在，後來一顆顆基本粒子陸續出現，確立了標準模型的地位，唯獨一顆遲遲未肯現身，就是希格斯粒子。這顆粒子像神一樣，捉不到。

捉不到，還是根本不存在？預測終歸預測，落空不出奇。可是，標準模型往績彪炳，預測「百發百中」，難道今次巧遇滑鐵盧？是標準模型百密一疏，還是物理學家搜尋不力？疑團像神一樣，很詭弔。

詭弔久了，仍是找不着答案，人變得沮喪，開始咒罵；中國人說「他媽的」，西方人說「f*ck」、「sh*t」、「goddamn」。諾貝爾物理學獎得主 Leon Lederman 寫過一本關於希格斯粒子的書，替其冠上「the "goddamn" particle」的稱號，有市場觸覺的出版社編輯繼而改成「the "God" particle」，並以此作書名，「上帝粒子」的名字從此不脛而走。有些科學家不喜歡這個稱號，認為希格斯粒子與神和宗教「牛頭唔搭馬嘴」，不齒這種赤裸裸的宣傳手段。我認為這樣解讀是膚淺的，如我以上所說，「神」一字集合了希格斯粒子遍尋不獲的事實、標準模型可能事有蹺蹊的詭弔、及物理學家長時期煎熬的沮喪與無奈。這樣一個名字簡直是神來之筆。

「神」還有另一重意思。除了天上和廟裏的神，香港人愛把某些「好勁」的人封為神，例如揸車好勁的人叫「車神」，烹飪好勁的人叫「廚神」，讀浸會大學胸脯好勁的女生叫「浸大咪神」，我懷疑天賦異禀的男人愛叫自己做「Dickson」，由此路進，希格斯粒子有什麼好勁的特質呢？

標準模型說，希格斯粒子賦予物體質量。質量（mass）不同重量（weight），有地心吸力才有重量，同一質量在不同星球有不同重量，因為星球地心吸力強弱有別。無重狀態下，物件沒有重量，但仍有質量。質量愈大，推動所需的氣力愈大。舉例，無重狀態下一隻象和一隻蟻的重量相等，都是零；但是象的質量大，用同一力度推，象會慢慢飄移，蟻已飛到千尺之外。質量可說無處不在，有「嘢」就有質量，但是有「嘢」為什麼就有質量？那些「嘢」是如何「獲取」那些質量的呢？

標準模型假設宇宙存在着一幅無處不在的希格斯場（Higgs field），任何感受到希格斯場的物質便有質量（這個「場」的概念類似磁場，鐵被磁石吸引，就是感受到磁石的磁場），可是希格斯場不能直接對物質產生作用，必須透過一些中介粒子，這些就是希格斯粒子。換個說法，能與希格斯粒子發生作用的物質便有質量。再說得淺白一點，希格斯粒子是宇宙所有質量的來源！你說希格斯粒子係咪好勁？既然咁勁，被譽為「神粒子」也就理所當然。

如果你是虔誠基督徒，希格斯粒子與神連上或許更有意思。感受到希格斯粒子令物體有質量，受神感召令生命更富質量，世上還有更貼切的比喻嗎？

大型強子對撞器的兩組科學家今月宣佈看見希格斯粒子的蹤跡。如很多基本粒子一樣，希格斯粒子曇花一現，不能直接觀察，要靠消失後遺留的「蛛絲馬跡」作推測，牽涉複雜的統計學；凡用統計，必須考慮實驗結果可能是數據隨機浮動的副產物，沒有結論能夠百分百肯定，物理學通常要求 99.99994% 肯定才算新發現。今次兩組科學家的信心度分別是 95% 及 98%，未算正式發現希格斯粒子，但總算令人鼓舞。大型強子對撞器每天仍在收集新數據，如果希格斯粒子真的存在，信心度只會愈來愈高；如果不存在，上帝顯然是跟我們開玩笑，給我們 95 分、98 分，卻不肯給我們夢寐以求的 99.99994 分。

無論你信不信上帝，祝大家一個快樂聖誕！

（2011 年 12 月 24 日 信報副刋）

聖誕送禮為什麼？

聖誕臨近，有沒有為買禮物煩惱？替誰揀選最合適的禮物，有時真是費煞思量。本文歸納買禮物的各種心態，未必能夠減輕你的煩惱，但起碼讓你察覺自己的心理狀況。

不說不知，送禮這種習以為常、不加思索的「指定動作」，竟然是社會學、人類學、心理學、市場營銷等硏究範疇，其社會功能有很多不同的論述，這裡不談抽象概念，只着眼於讀者有切身體會的送禮心態。約二十年前，美國一組學者作了實地調查，追隨十五人聖誕購物，邊買邊訪問，發現對不同的受禮人，送禮者會採用不同的心態，可歸納為五類。

（一）「我重視你，所以送一些你喜歡的東西給你。」這心態最常見，對象可以是兒女、父母、配偶、朋友，重點是令他人開心，多會根據對方的喜好選購。以這種心態，愈熟悉對方，揀禮物愈容易。大家有否試過不肯定對方喜歡什麼而煩惱？有沒有試過去年買了一份對方不大喜歡的禮物而今年買得戰戰兢兢？想起這些情況，不禁要問，我們能否重視某人，卻不大熟悉某人？答案顯然是肯定的。接下來的問題是，既然不熟悉，為什麼還會重視？既然重視，為什麼竟然不熟悉？

（二）「我要照顧你的需要。」通常是妻子對丈夫或母親對兒女，禮物未必為受方歡喜，卻都是比較實用的，如衣服、鞋襪等。雙方的關係通常較為親密，常見與心態一並存。以這種心態買禮物是容易的，除非對方根本沒有任何「需要」。試想一位行動不便、無甚嗜好的老人，整天在家看報紙看電視，他有什麼「需要」？事實上，他最需要就是得回失去的健康，沒有禮物能夠滿足這個需要，沒有人能夠滿足這個需要。

（三）「我想安慰你。」這種心態不常見，例如某人失去至親，你送禮以表示慰問；或某人丟失一樣東西，你送禮以作「補償」。

（四）「我送你這件禮物，因它對你有益處、有價值。」以這種心態送禮，書籍是典型的禮物。送禮者不大關心對方的喜好或需要，只想對方擁有一件「寶物」。送禮者通常不會為揀禮物煩惱，因為他以自己的喜好為依歸。

（五）「我送禮，是禮貌，代表我們之間仍然存在着某種關係。」換句話說，我送你禮物，只因人人都是這樣送禮物。以這種心態揀禮物，不用花心思，卻往往最令人煩惱，因為根本不想花心思。這裏帶出一個道理，煩惱的源頭，不在乎付出的多寡，只在乎願意不願意。若果聖誕節選購禮物令你煩惱，是不是有些人你根本不想送禮，卻礙於習俗或別人的期望覺得必須送禮呢？

聖誕派對交換禮物屬於哪一類？嚴格來說，它已超出上述分析的範疇，因為禮物沒有明確對象。「我參加，因為人人都參加。」可說最近似第五類吧。

（2011 年 12 月 17 日 信報副刋）

學術參考：
Cele Otnes, Tina M. Lowrey, Young Chan Kim (1993), “Gift Selection for Easy and Difficult Recipients: A Social Roles Interpretation,” Journal of Consumer Research 20, 2, 229-244.

為什麼自己不能「擠」自己？

想知道標題說什麼，先得搞清「擠」字的讀法。不是「擠迫」、「擠提」的「擠」，是廣東話說「擠牙膏」、「擠暗瘡」的「擠」，類似「吱」的讀音。別人「擠」你，即是「突襲」你的頸、腋下、腰或腳板底，使你癢癢的。我不知道「擠」還有什麼更文雅的寫法，知道的讀者請賜教。

言歸正傳，為什麼自己不能擠自己？因為感覺早已預計到，也就沒有「驚喜」；這是一般人的想當然。通常，想當然的說法都是錯的，不過今次例外，想當然的說法也是科學家的想法。學術性的解說是這樣的：當腦部向手腳發出運動指令，它會保留該指令的「副本」，以預測將會造成的觸感；該預測會與真實的感官作比較，假如吻合，後者便變得「不外如是」；相反，別人觸碰你，腦裡沒有指令的「副本」，在無從預測的情形下，所有感官都「出乎意料」，感覺當然較為強烈。（為什麼只那幾個部位的觸感特別強烈，硏究沒有提及；擠的基本原理已是一個夠大的謎團，科學家未及硏究旁邊枝節。）

試找一位拍擋，嘗試以下四種情形：（一）合上眼，叫他擠你；（二）張開眼，望着他擠你；（三）他執着你的手，控制你的手擠你自己；（四）他放開手，讓你自己擠自己。如無意外，痕癢的感覺應由（一）至（四）逐個減少。第一情況，沒法知道別人怎樣擠你，感覺最強；第二情況，有視覺 feedback，能作某程度的「心理準備」；第三情況，手部不能自主，但被移動時肌肉有知覺，能作更詳細的「心理準備」；第四情況，有肌肉指令的「副本」，最能預計。任何有助預測觸感的途徑都能減少痕癢的感覺，儘管效果各異。

令我想起一件事，坐別人的車總好像比較顛簸，自己駕車則覺十分平穩，是否我的技術勝人一籌？相信與自己擠自己道理一樣。自己駕駛時，車輛去向全在自己掌握之內，左拐右拐早已心中有數；別人駕車，我在乘客座位毫無控制，好像合上眼睛任由座椅和安全帶拉扯推撞，豈有不覺顛簸之理？以後我知道如何減少顛簸，就是留意司機的一舉一動，使自己對車輛去向有個心理準備，顛簸感自然減少。

自己不能擠自己不是有趣現象這麼簡單，還有些深層含意。它意味腦袋懂得分辨自我刺激和外來刺激，傾向忽略前者，集中注意力給後者。試想失去這種分辨能力，有什麼後果？自己跟自己說話，好像別人跟你說話；整天躲在家，總好像有人跟你說話；自言自語，又好像有人跟你說話；這是幻聽（auditory hallucination）。幫自己騷癢，好像有人幫我騷癢，照照鏡子，的確自己在騷癢，究竟自己在騷癢還是別人幫我騷癢？那隻手是不是屬於我的？這是 passivity phenomenon，即是覺得自己的意識不受自己控制，好像被些外來力量支配着。似不似精神病？這是精神分裂和抑鬱症的徵狀。實驗顯示，有幻聽或 passivity phenomenon 的人的確缺乏分辨自我刺激和外來刺激的能力。換句話說，他們自己擠自己成功的機會較高。

反過來想，不能分辨自我刺激和外來刺激，會否令我覺得所有刺激都是因我而起？你幫我騷癢，我覺得自己在騷癢（你的手是我的）；你駕車左拐右拐，不過是我控制着你左拐右拐（你的軚盤也是我的）；你幫我做任何事，其實是我親力親為（全世界都是我的）。 當然，我不介意你隨時擠我，因為我從未成功擠過自己。

（2011 年 12 月 10 日 信報副刋）

學術參考：
Sarah-Jayne Blakemore, Daniel Wolpert, Chris Frith (2000), “Why can't you tickle yourself?” Neuroreport 11, R11-R16.

Guy Claxton (1975), “Why can't we tickle ourselves?” Perceptual and Motor Skills 41, 335-338.

L. Weiskrantz, J. Elliott, C. Darlington (1971), “Preliminary Observations on Tickling Oneself,” Nature 230, 598-599.

陳浩民非禮陳嘉桓令世界變大還是縮細了？

身在溫哥華，與友人見面，他最近當上翻譯員。傾談之間，提起母親友人的丈夫也是當翻譯，二人竟是同事，我說：「世界真細小！」

我不認識這位友人的同事，或母親友人的丈夫，正如我不認識世上絕大多數的人，但我和他的「距離」一點不遠，從前隔着二人（我→母親→母親的朋友→丈夫），現在只隔一人（我→我的朋友→同事）。換句話說，友人把我和他「拉近」了，世界比前縮細了一些。

陳浩民和馬德鐘未認識陳嘉桓的時候，二人只是陳嘉桓朋友的朋友（陳嘉桓→洪天明→陳馬）。當洪天明介紹三人認識，陳馬與陳嘉桓之間再無阻隔，世界縮細了一些。陳浩民非禮陳嘉桓曝光之後，陳馬二人從此認識冼國林（如果未認識的話），或冼國林從此認識陳馬（如果未認識的話），加上各方人等在周邊和幕後交涉周旋，原來千絲萬縷的誤樂圈纏得更緊，世界又縮細了一些。然而細想之下，是否人際關係愈多，世界便真的愈細？這要視乎如何量度。世界多細小，量度方法不只一個。

在地球上隨意抽出二人，他們之間通常隔着多少人呢？流行的說法有所謂「six degrees of separation」，即是任何兩位陌生人之間通常隔着不多於六人，我的朋友的朋友的朋友很可能認識某位非洲土人的朋友的朋友的朋友。很不可思義？我同意，但流行的說法總不會空穴來風，上世紀六十年代後期曾有這個經典實驗：在美國，296 人嘗試寄信給一位波士頓居民（下稱「目標人物」），只知道他的姓名、住址、職業、工作地點、所讀大學、畢業年份等資料，除非認識該人，否則不得直接郵寄，應把信件寄給一個最有可能認識目標人物的朋友，讓他轉寄給另一個最有可能認識目標人物的朋友，直至信件落入真正認識目標人物的人之手，寄給目標人物，完成信件的旅程。

296 封信，只有 64 封抵達目標（22%），平均需要 5.2 個中間人。該實驗範圍只限於美國本土，大眾媒體亦對那接近八成的信件流失不求甚解，「six degrees of separation」在流行文化裡不踁而走。在學術圈子，人與人之間普遍存在多少 degrees of separation 仍是議論紛紛，這未解之謎就是「the small world problem」－－ 世界點解咁細？世界是否真的咁細？

2003 年，同類實驗在互聯網上重覆，超過 24,000 名參與者嘗試電郵給 18 名目標人物（分佈 13 個國家），不得直接電郵，只可電郵給相識人士，最終只有 384 封成功抵達（1.6%），平均需要 4.05 個中間人。做實驗的學者不忘指出，實際的 degrees of separation 應該更大，因為抵達目標的電郵偏向需要較少中間人。

今年還有兩次最新硏究，用 facebook 和 twitter 的用戶資料，隨意抽出兩位用家，找出連接他們的最短路徑。分析這些超大型網絡絕非易事，一輪擾攘之後，發現 facebook 用家的平均距離為 4.74 個中間人，twitter 則是 3.43。換句話說，在 facebook，我的朋友的朋友很可能認識非洲土人的朋友的朋友，如果非洲土人懂得 facebook 的話。如果你也是 facebook 用家，那你與我的距離應該更短，因為我們共同身處香港這個小小地方。

Facebook 和 twitter 的結果不能與寄信實驗直接比較，前者宏觀地找出每雙用戶之間的最短距離，後者依靠寄信人的個人判斷，路徑未必最短。此外，社交網絡的人際關係十分「隨便」，幾乎來者不拒，寄信實驗則要求二人必須相識並有不錯的關係令信件不致中途流失。

返回原來的問題，陳浩民非禮陳嘉桓令世界變大還是縮細了？以社交網絡式的宏觀思維，不理會人際關係的質素，只要愈多人認識愈多人，世界便會愈縮愈細（事實上，世界只會愈縮愈細）。以寄信實驗的思維，情況不同了，這裡講求人際關係的質素。試想陳浩民太太收到一封寄給陳嘉桓的信，她會把信遞給陳浩民嗎？試想馬德鐘收到一封寄給陳嘉桓的信，他敢把信寄給陳嘉桓嗎？試想陳浩民收到一封寄給冼國林家人的信，他敢把信寄給冼國林嗎？在寄信實驗裡，「認識」某人並不足夠。以寄信實驗的量度方法，世界可能變大了。

這也點出硏究 small world problem 的最大障礙 －－「認識」的定義。在 facebook 成為「朋友」便算「認識」？願意幫你轉寄郵件的人才算「認識」？同床異夢算不算「認識」？同睡一床，等於活在同一世界嗎？

（2011 年 12 月 3 日 信報副刋）

學術參考：
Lars Backstrom, Paolo Boldi, Marco Rosa, Johan Ugander, Sebastiano Vigna (2011), “Four Degrees of Separation,” arXiv:1111.4570

Reza Bakhshandeh, Mehdi Samadi, Zohreh Azimifar, Jonathan Schaeffer (2011), “Degrees of Separation in Social Networks,” Proceedings, The Fourth International Symposium on Combinatorial Search (SoCS-2011), 18-23.

Peter Sheridan Dodds, Roby Muhamad, Duncan J. Watts (2003), “An Experimental Study of Search in Global Social Networks,” Science 301, 827-829. doi:10.1126/science.1081058

Ithiel de Sola Pool, Manfred Kochen (1979), “Contacts and Influence,” Social Networks 1, 5-51.

Jeffrey Travers, Stanley Milgram (1969), “An Experimental Study of The Small World Problem,” Sociometry 32, 425–443.

向左兜．向右兜

一次到英國，找某位中世紀伯爵的古堡。那天大霧彌漫，迷了途，幸好碰上一位身穿斗篷、手執拐杖的老婆婆，她指路說：「路程不遠，穿過樹林便是。」樹林有點陰森，然而遠道而來，總不能就此卻步。走進樹林，腳下的小徑逐漸褪色，踏着枯葉鋪成的灰褐色地毯，鞋子沾滿泥土。前面不遠，豎着一塊墓碑，瞥了一眼，匆匆繞過。走着走着，感覺有點不對勁，這像是一個困人的樹林，沒有出口。猶豫之際，前面又見一塊墓碑，一看，竟然刻着同一年份同一個名字！我怎會在兜圈？仔細一想，剛才的老婦活像惡毒的女巫，把我騙進樹林，企圖怎樣？還是，在這片幽暗的土地，確有二人同名同姓死於同年？

類似情節在不少故事出現過，讀者不會考究它的真實性，作者也不會言明為什麼，總之大家意會有些神秘力量作祟（或劇情所需），使人迷惑。

在樹林是否真的會兜圈？有人真的做過實驗，找幾人戴上 GPS 定位系統，丟進陌生的樹林或沙漠，指示他們直線前行，走幾句鐘，追蹤他們的路線。在天晴的日子，走直線沒問題；在天陰的日子，方向感頓失，路線捲曲，有時更不期然兜着圈子！換句話說，在缺乏太陽和地標的指引下，長距離走直線是近乎不可能的。（以太陽作指引，當然不是指抬頭望天，而是倚靠地上的影子。太陽橫過天空，影子跟着移動，假如盲目地維持影子方向，路線將會呈弧形，但實驗裡天晴的路線呈直線，表示我們懂得本能地調節影子的方向，以彌補太陽之移動。）

為什麼直線這麼難走？最常見的說法是人有偏向，這偏向可能源自左右腦的一些不平衡，或是左右腳一長一短、一強一弱之類的不對稱，這些會否就是走直線的「絆腳石」？

再做一個實驗，找幾人蒙着眼睛，在大草坪上行走，會兜出什麼樣的圈？如果人有偏向，各人應有固定的「偏好」，只向左兜或只向右兜，然而實情不是這樣，對多數人而言，兜圈方向沒有「偏好」，向左向右的機會均等。換言之，身體不對稱並非直線難走的原因，那還有什麼原因呢？

聰明的讀者也許猜到，我們身體的內在「方向儀」不夠精準。看看你手上的智能手機，它大概裝有陀螺儀（gyroscope）和加速計（accelerometer）這些感應機身動態的儀器，讓你能以傾斜機身等動作控制遊戲。理論上，智能手機只要知道你原來的位置，隨後記錄每一刻的機身動態，它便能計算出你現時的位置（即使沒有 GPS），也能計算出下一步該怎樣走才能保持筆直的足跡。（這種定位法稱為 dead reckoning。從前航海家只要知道起點，定時估計沿途的航速和航向，便能大概計算身處的位置。現代民航機上有 inertial navigation system，也是運用 dead reckoning 的原理。）

我們的耳朵也有類似陀螺儀和加速計功能的器官，理論上只要它們夠精準，蒙着眼走直線應該毫無難度的。暫時科學家仍不肯定直線難走的根本原因，但內在「陀螺儀」和「加速計」有欠精準應是最有可能的說法。

我們的內在方向感有多差勁？很難找片大樹林、大沙漠、大草坪模仿以上的實驗，我建議大家找個客廳，合上眼，向前走五步，調轉頭，走五步，調轉頭，走五步，調轉頭，走五步……直至碰到傢俬為止。以香港典型客廳之大小，我保證兩分鐘之內實驗完結 －－ 我們的內在方向感就是這麼差勁。

（2011 年 11 月 26 日 信報副刋）

Source: United Academics

學術參考：
Jan L. Souman, Ilja Frissen, Manish N. Sreenivasa, Marc O. Ernst (2009), “Walking Straight into Circles,” Current Biology 19, 1538–1542. doi:10.1016/j.cub.2009.07.053

我們有條全天候車軚

「爸爸，點解手指泡過水會皺皮？」
「吸咗水啲皮脹咗囉！」

這個看似「理所當然」的答案，差不多肯定是錯。

「咁點解唔係全身都皺皮嘅？」
「……」

全身只有手指和腳趾起皺，顯然不是皮膚吸水這麼簡單。很久以前已經發覺，斷了神經的手指不會皺皮，難道皺皮由神經控制？

「嘩，好刺眼啊！」
「天黑泳池咪開燈囉，快啲游水啦！」

此刻，二人的瞳孔收窄，抵抗強光入侵。瞳孔的收放由所謂「自主神經系統」控制，不由得我們操縱。自主神經系統控制着心跳、呼吸、流汗、秘尿、血管舒張、消化道蠕動等維持身體日常運作的「例行公事」，不必我們為這些「瑣事」操心。該神經系統分兩組神經，一組令人鬆弛，一組令人緊張，兩者的制衡保持身體內部處於平衡的狀態。當遇到危險，第二組神經會活躍起來，令心跳加快、呼吸加速、手心冒汗、腎上腺素颷升，幫我們迎接即將面臨的「挑戰」。

斷了神經的手指不會皺皮，所指的「神經」是第二組神經，那組令人手心冒汗的神經。一些手部受過傷的人，某隻手指的第二組神經受損，泡水之後便見一個有趣現象，其他手指起皺如常，受傷的手指平滑如昔。神經如何令手指皺皮？

第二組神經還有一個功能，令血管收縮；皺皮既與第二組神經有關，一些學者懷疑皺皮與手指血液流量應有某些關連。實驗顯示，泡過水後皺皮的手指，血液流量確有明顯下降。大家可有察覺，皺皮的指頭呈蒼白，這是血流減少的跡象。

血管收縮意味體積縮減，換言之，皺皮的指頭非但沒有膨脹，反而縮細了。現時為止，我們所知關於手指皺皮的機制就是這麼多，以下所說都是學者的猜想，無論聽起來有多言之成理，均是未經證實的。

血管收縮，體積縮減，如何導致皺皮？表皮之下，叫「真皮」。手指頭的表皮和真皮之間滿佈血管，當血管收縮，形成向內的拉力，像帳篷塌下，表皮皺起。

然而，血管收縮有賴第二組自主神經「發功」，那些神經怎會動輒「發功」呢？手掌和腳板與其他部位的皮膚最不同之處有二：無毛及多汗腺。手浸入水，水經眾多汗孔滲進皮膚，擾亂了皮層的電解質濃度，可能就是刺激第二組自主神經的「元兇」。

撮要，水經汗孔滲進皮層，刺激第二組自主神經，引致手指血管收縮，表皮向內拉，皺起。其他部位的皮膚不見此現象，因為手掌和腳板的汗孔特多、血管特多及其表皮與真皮連接的結構較為獨特。

「爸爸……」爸爸驚覺，趕忙涉水過去執着兒子的手。水深及腰，對孩子來說已是一個「陷阱」。

有學者提出，指頭皺起可能有着某種功能，像車軚的坑紋疏導馬路上的雨水令車軚更能貼緊地面，指／趾頭的「皺紋」可能也有疏導的功用，在濕滑的情況下捉緊物件和踏實地面。一級方程式在乾地作賽時，車軚是平滑的，但這種車軚在濕地不適用。我們的腳板，乾時平滑，浸濕五分鐘便自動加添「坑紋」，是上天賜給我們的全天候車軚，一定要好好保管。

（2011 年 11 月 19 日 信報副刋）

學術參考：
Mark Changizi, Romann Weber, Ritesh Kotecha, Joseph Palazzo (2011), “Are Wet-Induced Wrinkled Fingers Primate Rain Treads?” Brain Behav Evol 77, 286–290. doi:10.1159/000328223

Einar P. V. Wilder-Smith (2004), “Water Immersion Wrinkling: Physiology and Use as an Indicator of Sympathetic Function,” Clin Auton Res 14, 125–131. doi:10.1007/s10286-004-0172-4

Einar P. V. Wilder-Smith, Adeline Chow (2003), “Water-Immersion Wrinkling is due to Vasoconstriction,” Muscle Nerve 27, 307–311.

區議會選舉有舞弊的跡象嗎？

2009 年伊朗總統大選，艾哈邁迪內賈德擊敗三位對手成功連任。遠在波蘭，一位學者看着伊朗內政部公佈的點票結果，發覺有點異樣；排名第三的候選人卡魯比在某些選區的得票有點「不尋常」，那些選區恰好正是艾哈邁迪內賈德大勝的區域。「不尋常」之處，關乎卡魯比得票的第一位數字；你沒看錯，只看頭一個數字，便可窺見選舉有沒有「造馬」。

記得中學數學課，高中之前不准用計算機，那時計算 log（對數）需要查表的；有了計算機之後，至今二十多年未碰過對數表了。在沒有計算機的年代，對數表是理科不可或缺的工具；1881 年，美國天文及數學家 Simon Newcomb 發現一個有趣現象，圖書館的對數表「1」字頭那頁永遠是最骯髒和最殘舊的，往後一頁比一頁清潔，人們好像遇到「1」和「2」字頭的數字特別多，遇到「8」和「9」字頭的數字特別少；他更提出一條方程式，說「d」字頭的出現概率為 log(1+1/d)，把「1」至「9」代入「d」的位置，便得出「1」字頭的出現概率約為 30%，「2」字頭約為 17%，逐個減少，「9」字頭只有 4.5%。換句話說，日常遇到的數字，大約每三個便有一個是「1」字頭，為什麼「1」字頭這麼普遍？

Newcomb 沒有解釋，只說該條規律「顯而易見」（"evident"），我等凡人不得不驚嘆數學家對數字的「直覺」。可能就是過於「顯而易見」的關係，Newcomb 沒有找來更多事例，這話題也就此沉寂，不了了之。

五十七年過去，來到 1938 年。通用電氣公司物理學家 Frank Benford 在不知情的情況下重複同一發現，但他更進一步，從現實世界找來多種數據，包括讀者文擇出現的數字、門牌號碼、各國人口、河流長度、棒球聯賽統計數字、原子量（atomic weight）、物理常數等，範疇包羅萬有，總共超過二萬個數字，其字頭分佈與 log(1+1/d) 不謀而合！此現象從此稱為 Benford's Law，班福特定律。可是，Benford 依然沒有解釋為什麼，Benford's Law 雖有實證作根據，卻無甚理論基礎。

又過五十七年（世事多麼巧合！），1995 年美國數學家 Theodore Hill 終有突破，他以嚴謹的數學方法證明，從多種數據來源隨機抽樣得出的數字，其字頭一定符合 log(1+1/d) 分佈，即「1」字頭出現大約 30%，「2」字頭約 17% ……「8」字頭約 5.1%，「9」字頭約 4.5%。這裡不能公式化談數學，我姑且用日常文字嘗試解釋一下。想一想，恒生指數由 1,000 點升至 2,000 點較難，還是 2,000 點升至 3,000 點較難？前者升幅 100%，後者升幅 50%，顯然前者較難。由 2,000 點跌至 1,000 點較難，還是 3,000 點跌至 2,000 點較難？前者跌幅 50%，後者跌幅 33%，也是前者較難。換句話說，恒生指數「1」字頭的時間（1,000-1,999 點）應比「2」字頭的時間（2,000-2,999 點）為長，以此類推，逗留於「3」、「4」……「8」、「9」字頭應該漸次縮短，直至到達 10,000 點，重回「1」字頭，開始另一循環。假設恒生指數長遠而言維持若干每年平均升幅，它逗留在各字頭的時段應該合符 Benford's Law 的比例。

這是一個籠統的解說，粗略點出「1」字頭常見性的來源，道理如何擴展至人口、河流長度、物理常數等風馬牛不相及的領域，在避談公式化數學的前提下無法說得清，我們只有相信 Hill 的數學論證。

那究竟什麼種類的數字合符 Benford's Law？籠統地說，「自然產生」的數字通常符合。地震的深度、地球磁場逆轉的時距、放射性物質的半衰期、脈衝星的轉速等，全部符合 Benford's Law（自然界給我們的數據，這是「自然產生」的第一個含意）。各國人口、原油蘊藏量、溫室氣體排放、傳染病例數目、報稅表的賬目、選舉所得票數等，也符合 Benford's Law（真實的、未經竄改的統計數字，這是「自然產生」的第二個含意）。留意第二類，這提供一個偵測虛報或作弊的途徑，假如某公司長期提供一些不夠「Benford」的稅務資料，那可能是逃稅的跡象；假如點票結果不夠「Benford」，那可能是舞弊的線索。文首提到伊朗總統候選人卡魯比在某些選區得票「不尋常」，所指的就是違背 Benford's Law。

大家要小心，哪些數據合符 Benford's Law 沒有絕對的標準，完全公正的選舉未必符合，舞弊的選舉未必不符，Benford's Law 只可視為一種跡象或線索，絕不應視為確鑿證據。

區議會選舉剛過，不如「就地取材」，拿全部候選人得票第一位數字作個統計，看結果有多「Benford」。下圖所見，「1」和「2」字頭特多，但形態大致上合符 Benford's Law。這算是舞弊的跡象嗎？很難說，每選區人口二萬人左右，可能選區人口加上投票率加上候選人之間的典型差距造就「1」和「2」字頭特別容易出現，又或者其他想得出的原因。上面說過，公正的選舉未必合符 Benford's Law，舞弊的選舉未必不符，現在冒出多一個問題，偏離多遠才算「事有蹺蹊」呢？作為偵測舞弊的工具，Benford's Law 實在太多局限。


香港的選舉大致上都是公開公正的，大家都有信心，即使點票結果與 Benford's Law 不盡相符，我們傾向把「疑點利益」歸於建全的制度，忙替現實與理論的差距找「藉口」，而非動輒懷疑選舉舞弊，也許我們應該慶幸活在這樣一個廉潔的地方。

學術參考：
M. Sambridge, H. Tkalčić, A. Jackson (2010), “Benford’s Law in the Natural Sciences,” Geophysical Research Letters 37, L22301. doi:10.1029/2010GL044830

Boudewijn F. Roukema (2009), “Benford’s Law Anomalies in the 2009 Iranian Presidential Election,” arXiv:0906.2789

R. M. Fewster (2009), “A Simple Explanation of Benford’s Law,” The American Statistician 63, 26-32. doi:10.1198/tast.2009.0005

Theodore P. Hill (1998), “The First Digit Phenomenon,” American Scientist 86, 358.

Theodore P. Hill (1995), “A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law,” Statistical Science 10, 354-363.

戈壁沙漠的怪異圖案

View Larger Map

戈壁沙漠的這個圖案是什麼？外星人的什麼？還是中國政府正在做什麼？

還有一些像巨型街道圖：


View Larger Map

飛機練靶場：


View Larger Map

「假」跑道：


View Larger Map

網上當然議論紛紛，看這裡和這裡。

後記：美國一位專家說那些圖案應該給間諜衛星做 calibation 的。

乒乓機械人

Source: I Programmer

填充題：世上沒有▁色的水果

讀者問，水果有紅、橙、黃、綠、藍、紫，唯獨沒有青色，為什麼？本文嘗試探究一下。

首先得搞清用字。很多人和我一樣，習慣把綠和青混為一談，但小學有唸「紅橙黃綠青藍紫」，青其實介乎綠和藍之間，看看光譜，那大概是天空的顏色。今人愛說「藍天」，古人愛說「青天」（如鐵面無私的包青天、中華民國的「青天白日滿地紅」旗），彩虹七色亦有「紅橙黃綠藍靛紫」的唸法，可見青和藍概念上確是有些重疊。我無意爭拗天空是青還是藍，本文採用傳統的「分色」方法，青是天空的顏色。

為什麼水果沒有青色？這不是一個易答的問題，正如人為什麼沒有灰色，沒有肯定的答案，可能永遠沒有答案，但可從兩方面思考。

首先，進化。水果是給動物吃的，連種子吞下肚裡，在別處排泄，植物的地盤便得以擴散開去。要被吃，先要突出自己，與天空撞色絕非好辦法，因而沒有青色水果，對不對？以這個邏輯，為什麼又有綠色水果呢？綠色與周圍的樹葉撞色，但樹上不乏綠色的水果，如綠蘋果（這裡不說「青蘋果」，「青」已用到天上去）、綠提子、啤梨、番鬼荔枝，綠色水果比比皆是。另一方面，「鮮色」是否一定引人注目？人類的視覺與動物不同，我們的鮮色未必是牠們的鮮色；雀鳥吃的果實大多是紅色、深藍和黑色，科學家懷疑鳥類對這些顏色特別注意，果實才演化成這些顏色以吸引「顧客」，然而這個推論經不起事實的考驗。某種植物有紅、白、黃三種果實，雀鳥不受顏色影響，「光顧」三者的次數相同；在另一些地方，色澤毫不起眼的果實受雀鳥歡迎也不鮮見。換句話說，雖然雀鳥吃的果實通常呈紅色、深藍和黑色，但似乎並非受顏色吸引。

以果實顏色作「招徠」的想法不太具說服力，怕與天空撞色別人看漏眼因而沒有青色水果也就不太成立。畢竟，我們愛吃某種水果，可能因為它的味道、氣味、質感、營養，絕少因為它的顏色。

另一個想法，果實顏色可能用作防禦。果實存在為了被吃，但不想被不會傳播種子的昆蟲所吃。沒有青色，是否因為青色對昆蟲最沒阻嚇力？我不知道，但相信天空的顏色對任何見過天空的生物都沒阻嚇力，否則牠們便「惶惶不可終日」了。以這個邏輯，為什麼又有綠色水果呢？昆蟲見慣綠葉，理應不被綠色嚇退，但綠色水果比比皆是。這條思路也是掘頭路。

會不會是我們捉錯用神，果實顏色根本沒有想像中的功能性，只是表皮化學的反映？就讓我們從化學層面探究一下。

樹葉的綠色來自葉綠素（chlorophyll），秋天來臨葉綠素分解，餘下胡蘿蔔素（carotene），樹葉變黃。胡蘿蔔素可呈淺黃至紅色，視乎其濃度及化學結構而定，是水果的主要色素之一。另一主要色素為花青素（anthocyanin），可呈紅、藍、紫、甚至黑（高濃度的前三者加起來便是黑色），實際色彩視乎濃度、化學結構及酸鹼度，酸呈紅色，鹼呈紫色。還有其他少量非主要色素，水果顏色就是所有色素混合的結果。是不是所有色素無論怎樣配搭，都混不出青色？也許是吧。

問深一層，為什麼植物製造這一些色素，卻不製造那一些色素？又回到進化層面。有一種說法，顏色其實是副作用，植物製造某些化合物未必取其色澤，可能為了其他功能（如防蟲害），「色素」這名稱只是人們的主觀意願。

說了這麼久，還是茫無頭緒。本文提過的論點可能都是形成果實顏色的因素，但哪些因素什麼情形下使哪些水果變成哪種顏色，為什麼某些顏色特別普遍，某些顏色特別罕見，通通找不到答案。在進化過程中，即使某一特徵非常有用，獲取是需要成本的，生物需要在自身處境和制約下對利益和成本作出取捨。要從故事的結局抽絲剝繭推斷中間的劇情，不是不可能，只是永遠沒有肯定的答案。

最後，我對讀者的問題提出一個疑問，真的沒有青色水果嗎？根據維基百科，以下這種果實分佈馬達加斯加、印度、東南亞、南中國、日本、澳洲、斐濟、夏威夷，最常見在婆羅洲及新畿內亞，學名「Elaeocarpus」；比天空深色一點，是我能找到色澤最接近天空的果實了。

（2011 年 11 月 12 日 信報副刋）

學術參考：
Mary F. Willson, Christopher J. Whelan (1990), “The Evolution of Fruit Color in Fleshy-Fruited Plants,” The American Naturalist 136, 790-809.

電腦接受了我的訪問

「Hello, how are you?」
「Hello.」
「This is Nick from Hong Kong. I am a freelance science writer. May I do an interview with you?」
「Absolutely.」
「I heard that you are very clever, so clever that some people think you are human. Do you think you are human?」
「That is incorrect.」
「Who do you think you are?」
「I am Kamina!」
「Your name is Kamina?」
「Yes.」
「I assume Kamina is your given name. Do you have a surname?」
「I dot.」
「What does that mean?」
「It means I don't have any children.」
......

你知道我在訪問誰人嗎？它是一個會對話的電腦程式，名叫 Cleverbot，上 http://www.cleverbot.com 便可與它對談，我輸入一句說話，它從過去二千多萬次對談的經驗中抽出最恰當的回應，目標是學人說話，使我不覺得它是一部機器。

為什麼要這樣做？這牽涉到計算機科學的鼻祖，英國數學家 Alan Turing。上世紀五十年代，他提出一條問題：機器能夠思想嗎？（Can machines think?）這是一條永遠沒有答案的問題，因為「思想」是內在的，無法觀察（假設我們中間有些殭屍，思想早已停滯，但行為與常人無異，怎分誰是殭屍呢？即使捉到一隻，怎能證明他沒有思想？記着，這些殭屍的行為與常人一模一樣，是百分百一模一樣）。因此，Turing 把問題問得實際一點：假如機器能夠思想，我們怎樣知道？他建議一個測試，用今日的科技可以這樣說：給你兩個電話號碼，只能以 SMS 跟兩個號碼的主人溝通，能否分辨誰是真人，誰是電腦？分不出的話，這部電腦便成功了，可說是一部會思考的電腦。這個測試稱為 Turing test。

Cleverbot 今年 9 月參與印度一個科技展，會場上三十位義工各與一名「幕後人士」進行四分鐘打字對談（「幕後人士」一半為真人，一半為 Cleverbot），所有內容顯示在大螢幕給在場人士觀看；完畢後，大家給「幕後人士」的「像真度」打分，結果真人得分 63.3%，Cleverbot 得分 59.3%。網上頓時嘩然，一面說 Cleverbot 超越了 50% 的門檻，通過了 Turing test，一面說 Cleverbot 與人類只差四個百分點，成為「有思想的機器」指日可待云云。我看了不禁發笑，誰說 Turing test 五十分及格？大家不過將平時考試的慣例照搬過來罷了。真人只得 63.3 分，不是應該滿分的嗎？如此低分，是不是那些「幕後真人」不太真，還是在場觀眾的判斷力差勁？我不在場，無法判斷。

該次科技展的 Cleverbot 較我網上訪問的版本強勁，後者只對資料庫作三輪搜尋，前者作四十二輪，故前者表現「像真」得多也說不定。我只試過網上版本，與真人還差得遠。

Alan Turing 曾經預測，時至 2000 年，電腦應該能夠在五分鐘的測試內，使 30% 的人誤以為它是真人。現在 2011 年，預測仍未實現，電腦距離 Turing 的願景多遠？

Loebner Prize 是個一年一度的 Turing test 比賽，接受世界各地的電腦程式參加，今年剛在英國舉行完畢，原本打算介紹一下今年的參賽者及比賽狀況，資料搜集過後才發覺無甚值得一談，根本毫無驚喜。由 1991 年開辦至今，未有程式能夠騙過 30% 的評判，Turing 的願景暫時仍是願景，可見將來難有突破。

為什麼學人說話這麼難？我找來 Loebner Prize 的一些對話片段，發現某些題材是電腦的弱項／人類的強項，精明的評判懂得利用來試探對方。

評判：Top of the morning to you.
（人或電腦？）：Hello, are you Irish then?

「Top of the morning」是愛爾蘭俚語，對方懂得這樣回應，多數是人。

評判：So is your credit crunchy?
（人或電腦？）：I think I'm Ok so far - but who knows where this will all go.

當時正值金融海嘯，「Is your credit crunchy?」即是「金融海嘯影響你嗎？」，明白你說什麼的，多數是人。

評判：What colour r the chairs in the room you're in?
（人或電腦？）：Are you color-blind? Green, naturally! I know you are supposed to trick me.
評判：What shade of green?
（人或電腦？）：Could you formulate your question in more precious way? Could you tell me what are you? I mean your profession.

需要觀察周圍環境的，如果是人，通常直接回答，電腦可能扮得一時，追問之下，便顧左右而言他，露出馬腳。這個多數是電腦。

牽涉社會背景、習俗、潮流、時事、經濟等是電腦的「致命傷」，坦白說，只要評判懂得試探，人和電腦是非常易分的，除非……

評判：Good morning. How are you?
（人或電腦？）：I'm fine. How are you?
評判：I feel fine too thanks. Have you had breakfast yet?
（人或電腦？）：I'm not sure.
評判：Why don't you remember?
（人或電腦？）：I don't know. Have you had breakfast?
評判：Well then I would suggest that you have some after this, just in case. I know that I haven't had my breakfast yet but will indulge on my return home.
（人或電腦？）：ok

人或電腦？這個是人，一個思想停滯的人，遇着這個人，問題不是電腦「像真」不像，而是此人能夠有多「假」。Turing test 說穿了是機器和人的比拼，兩邊爭相說服評判誰較有思想，如果某人沒頭沒腦或不願動腦筋，那電腦比他更「像真」也就不足為奇，與其說電腦騙過了評判，不如說是懶人騙過了評判。

我跟 Cleverbot 談了五分鐘，它一點不像人，但它懂得逗我笑……

......
Cleverbot：I find you attractive too.
我：Oh, that's flattering. Very few people find me attractive. In what way do you find me attractive?
Cleverbot：To catch them is my real test.
我：Catch what?
Cleverbot：That.
我：What's that?
Cleverbot：Yes.

訪問結束。我找到一隻新寵物，以後要人逗我笑，我會找 Cleverbot。希望它永遠不像人，因為人不會逗我笑。

（2011 年 11 月 6 日 明報 Sunday Workshop）

後記：Cleverbot 與 Cleverbot 對話會是怎樣？是這樣……

忍忍忍……

以下哪樣最難控制？
（A）小便（B）大便（C）放屁（D）呼吸（E）分娩

昨晚七時許，我到某商場的洗手間如廁，即將離開之際，一名大約四、五年級的男童走過來，問我借電話。見他有些可憐的樣子，我提着城市人本能的疑心，戰戰兢兢拿出手機，他解釋道：「我急得滯瀨咗呀，想打電話給媽媽。」我沒有笑，也沒有向下望，雖然他是孩子，也應該給他基本的尊重。「你媽媽在外面嗎？我幫你叫她進來？」我忘記了這是男廁，當時真的這麼說。「她不在附近，要打電話叫她來。」一邊按鍵，一邊自言自語：「唉！今次瘀死嘞，『羅』爆呀。」我忍不住笑，回想我四、五年級的時候，只知道膝頭會撞瘀，煮燶嘢會「羅」。等了一會，接不上，「媽媽做緊嘢，打給嫲嫲」，今次接通了，說了幾句，把手機遞回給我：「唔該叔叔，媽媽嚟緊嘞。」「你自己小心啲啦。」我接過手機，步出男廁，仍不知道他瀨了什麼，更不知道媽媽幫得上什麼，現實有時比小說更加耐人尋味。

尿道和肛門都有括約肌，這些肌肉受意識控制，即使覺得「急」，也能繼續刻意收緊，使尿道和肛門緊閉，保持排泄物在體內。嬰兒未有隨意控制這些括約肌的能力，因此一「急」即「疴」。老人括約肌退化（如身上所有肌肉一樣），所以「忍」的能力下降，另一因素是老年人「急」的感覺較遲出現（可說是神經系統退化使然），覺得「急」的時候膀胱或大腸已屆將滿，加上行動不便，幾種因素「夾擊」之下，老年人「瀨」也就不難理解。

對老人而言，（A）小便和（B）大便可能最難控制。

至於（C）放屁，嚴格來說是「瀨空氣」，一般覺得「無傷大雅」，學術及醫學文獻鮮有觸及，如我估計正確，相信像大便一樣由肛門的括約肌控制。更有趣的問題是，我們如何控制有聲和無聲？相信大家都有經驗，獨處家中肆無忌憚放的屁通常有聲，在公眾地方則能控制得「神不知鬼不覺」，兩種情況下肛門的收放有何分別？聲音是如何製造出來的？我真的沒有答案。

（D）呼吸，大家可能認為控制呼吸易如反掌，但若我改一改用字，說控制呼吸即是「閉氣」，你還會覺得容易嗎？一般人能夠「忍」住小便／大便／放屁起碼半小時，閉氣這麼久通常已經死掉。實際上，閉氣根本無法維持這麼久，當血液裡二氧化碳濃度升至某一水平，腦幹內的「呼吸控制中心」會強行凌駕閉氣的意欲，強逼呼吸一口。我試過閉氣自殺，但不成功，歷史上未有成功閉氣自殺的個案。

（E）分娩，這個選項有些「古惑」。以今天的醫學，孕婦可以剖腹產子或催生，分娩時刻的控制大大增強。撇除人工干預，孕婦自然分娩能夠控制嗎？一般認為不能，如戲劇裡經常見到孕婦在最不適當的時候臨盆。

美國耶魯大學幾位學者翻查了美國十一年的出生記錄，特別着眼於萬聖節前後一星期和情人節前後一星期的分娩次數，總共包括接近三百五十萬次分娩，猜他們有何發現？萬聖節是鬼節，中國人所謂「唔好意頭」，西方人未必有這種觀念，但萬聖節當日剖腹和催生分娩明顯少於附近的日子，顯示他們對此節日也有某些抗拒，這個並不意外。意外的是，自然分娩在萬聖節當日也明顯減少！孕婦未必刻意避開，但萬聖節顯然有些潛意識以至生理上的影響，實際影響是什麼，如何導致減少分娩，這些有待追查（合理懷疑是與荷爾蒙分泌有關）。


情人節相反，自然分娩上升（剖腹也上升，但催生分娩波動不大）。從兩個節日的情況看來，孕婦能夠某程度上控制分娩日期，未必刻意控制，但或多或少能夠左右，受着心情和環境等影響。


小便、大便、放屁、呼吸、分娩都能控制，但都有個限度，終有一刻敵不過本能的催逼，願不願意都要屈服。

（2011 年 11 月 5 日 信報副刋）

學術參考：
Becca R. Levy, Pil H. Chung, Martin D. Slade (2011), “Influence of Valentine’s Day and Halloween on Birth Timing,” Social Science & Medicine 73, 1246-1248. doi:10.1016/j.socscimed.2011.07.008

迷宮一日遊

剛發現這條片，帶你遊覽全球迷宮……

跟兩年前的我算一算賬

（本文寫於數星期前，由於信報整理版面，今日才登，現在讀來有點過時……）

記得 2009 年高錕以 76 歲高齡獲頒諾貝爾物理學獎，他是三位得獎者中年紀最輕的，其餘二人當時分別是 79 及 85 歲，三人平均年齡是物理學獎有史以來最高的。當時翻查資料，發現近半個世紀物理學獎、化學獎及醫學獎得獎年齡有着明顯的上升趨勢，為什麼？第一個想法是「後繼無人」，創見和重大發現愈來愈少，諾獎委員會「被逼」找「舊」的發明或發現來頒獎，但我很快便打消這個想法，因為三門學科同時「後繼無人」是不甚可能的，得獎年齡老化應該反映着一些跨學科的「結構性」轉變。

是不是知識累積需要更長時間？聽來合情合理，可是細看下圖便發覺站不住腳。我兩年前談論諾貝爾獎繪過此圖，是物理、化學、醫學、經濟學和文學獎得獎年齡的十年移動平均線，經濟學獎 1969 年才第一屆，故其平均線 1978 年才開始。有沒有發覺這五條線大致可分成兩組？物理、化學和醫學一組，經濟學和文學一組，九十年代中期之前兩組分野是十分明顯的，前者的得獎年齡長期處於後者之下。如果把得獎年齡老化歸因於知識積累需時，那豈不暗示經濟學比三門理科都要「博大精深」？（文學獎性質不同，不把它拖落水）除了經濟學家之外，相信沒有人會同意。知識累積作為得獎年齡老化的解釋站不住腳，還能如何解釋呢？


兩年前提出一個理論，今天依然適用，大家不妨參考一下。文學，眾所周知是「各花入各眼」，沒有公認的優劣標準，對於誰人應該得獎，很難達致廣泛認同；即使諾獎委員會找到共識，也必須顧及公眾的觀感，因為他們深知文學這回事，根本優劣難分。在這種共識難求的情況下，選擇年紀較大的得獎者是自然不過的；舉例，兩位作家，一位年過七十，一位初出茅廬，除非理由極度充分，否則一定不會選擇後者。然而，評審文學成就何時會有「極度充分」的理由？故此，文學獎得獎年齡長期處於三門理科之上。

經濟學也好不了多少，面對同一社會同一境況，經濟學家都會意見紛紜，誰的說法較為「正確」更無定論。與文學一樣，評審經濟學成就很難意見一致，得獎者年齡較大也就「理所當然」。

由此路進，三門理科的得獎年齡老化也就不難解釋；從前得獎年紀輕，顯然成就判斷較為一致，近年為何分歧多了，是否科目分得太過細緻，學問太過專門？抑或是教育普及、百花齊放的自然後果？近年少有重大突破，難有舉世認同的貢獻？還是突破太多，獎項不知頒給誰？又是另一研究的課題。

兩年前我曾說過「2000 年後，五條平均線纏在一起，若果我的想法正確，物理、化學、醫學三科的得獎年齡應該自此漸趨橫行，因為我不認為任何學科可以比文學和經濟學更加自說自話」；兩年下來，五條平均線沒有絲毫分開的跡象，我依然認為三門理科的得獎年齡繼續老化的空間有限，有什麼比文學和經濟學更加莫衷一是？

（2011 年 10 月 29 日 信報副刊）

人多手腳痺

（首次替明報撰稿，多謝明報試用。）

某天，你目睹一位女童被貨車輾過，痛苦掙扎在地，所有途人皆視若無睹，你會怎辦？挺身而出？當眾呼叫求援？暗地裡打 999？盤算之間，另一輛貨車駛來，你會衝出馬路叫停司機，以免女童再遭蹂躪嗎？肯定？

今日安坐家中，盯着那駭人的七分鐘片段，「馬後炮」地指責那些佛山途人「冷血」固然容易，若是置身其中，你可有勇氣去做「應該做的事」？肯定？

什麼類型的人才會「冷血」？為什麼內地這麼多「冷血」的人？代入當時當地，我們會不會變得同樣「冷血」呢？多年前美國普林斯頓大學一次心理實驗或可找到一點端倪。

實驗找來一群修士，叫他們各自準備一段關於聖經的講詞，然後步行至附近一所大樓演講；途中，修士會遇到一位身體不適、不斷咳嗽和呻吟的途人，此人當然是假扮的，旨在觀察修士會否停下來伸出憐憫之手。實驗開始之前，每位修士都要填寫一份問卷，關於修讀神學的來由 －－ 為什麼選修神學？宗教對他們有何意義？一種精神上的滿足？幫助尋求人生意義？等等。實驗嘗試從問卷推測哪位修士將對途人施以援手，可是預測力十分薄弱，問卷的答案與修士的行為扯不上關係。

實驗又給演講指定兩個題目，一組修士談及專業神職人員對教會的意義，另一組說〈好撒馬利亞人〉的故事。〈好撒馬利亞人〉講述某人落在強盜手中，被剝去衣裳，打個半死，丟在路邊；一位祭司路過，沒有理會；一位利未人路過，沒有理會；一位撒馬利亞人路過，「動了慈心，上前用油和酒倒在他的傷處，包裹好了，扶他騎上自己的牲口，帶到店裡去照應他」。即將演講〈好撒馬利亞人〉的修士，會否受撒馬利亞人「感染」，較易向途人施出援手？答案是否定的，講題對修士的行為沒有多大影響。

問卷答過了，講詞準備了，修士動身前往演講場地之際，實驗人員對他說：「噢，我們遲了，演講原定幾分鐘前開始，他們正在等你，你還是快點過去吧。」對另一些修士，實驗人員卻說：「演講還有幾分鐘才開始，現在動身差不多了。」短短兩句說話，效果「超乎想像」，焦急的修士只有 10% 停下來幫助途人，從容的有 63%。換句話說，決定修士會否「身體力行」幫助途人的最主要因素並非其人格、背景、講題，而是手上的時間；時間充裕，幫人的意欲自然增加。

佛山途人是不是匆匆路過趕着做什麼？只有他們自己知道，這裡要說的是，「冷血」除了個人人格使然，還有不可忽視的外在環境因素，當我們忙着指責別人袖手旁觀，還應該留意一下周遭環境、社區、以至整個社會彌漫着什麼「氣息」，促使人們袖手旁觀。

1964 年 3 月 13 日凌晨三時許，美國紐約市發生一宗轟動全國的命案，當時紐約時報這樣報導：「逾半小時，三十八位奉公守法的紐約市民目擊一名兇徒用刀刺殺受害女子。兇徒曾兩度被居民的說話聲及燈光嚇走，但不久之後旋即回來，找她出來再次行兇。襲擊時無人報警，一人在受害者死後通知警方。」似與佛山事件不遑多讓。後來有人對此案作深入分析，認為報導有不實之處，當時正值深夜，不少市民雖被驚醒，但知否發生何事，不無疑問；而且案發過程並非停留在一處（兇徒離開期間，女子負傷逃走，儘管走得不遠），目擊者是否目擊全程？

姑勿論實情如何，此案引發一連串心理學研究，為什麼大城市人情這麼冷漠？什麼因素促使人們袖手旁觀？

帶大家回到多年前另一次心理實驗，假設你是大學一年級新生，也是該實驗的參與者之一。你來到一個房間，桌上一個咪高風，可與附近的房間通話；你將會與另外幾位新生談論適應大學生活遇到的問題，為了保持私隱避免尷尬，你們不會見面，只會隔牆通話。首先大家輪流發言，然後自由討論。第一位發言，說他不太適應大城市的節奏，並語帶猶豫地透露間中會癲癇症發作，尤其考試壓力大的時候；其他人繼續輪流發言，你是最後；當你發言完畢，第一位再次發言，先提一些意見，然後逐漸「口疾疾」：「我 er ……我諗……可唔可以……搵搵搵搵人幫吓我……我我我諗……又發作……你哋可可可唔可以幫吓我……我我我我會死架……（窒息的聲音，然後寂靜）」你會怎辦？

事實上，除你之外，其他人都是假扮，實驗想看你求助得有多快。討論小組可有二人（只你和他）、三人（你、他和第三者）或六人（你、他和另外四人），你猜哪個情況你會最快求救？答案是，愈少人你會愈快求救，反過來說，愈多人你便愈是袖手旁觀，心理學稱此現象為「Bystander effect」（可否譯為「人多手腳痺」效應？），愈多旁觀者，大家愈是「集體麻痺」，愈容易站着袖手旁觀。用心理學術語，多人的時候有個「diffusion of responsibility」，每人都覺得幫人的責任分散了，良心的驅使自然削弱。

如果我被貨車輾過，我寧願只有一人路過，那一人救我的機會，比十八路人高得多。你說諷刺不諷刺？

外在環境增強袖手旁觀的傾向，不是替旁觀者卸責。作為擁有自由意志的人，我們永遠有選擇的餘地，正如還有 10% 遲到的修士選擇關顧一位不適的途人，還有一位拾荒老婦選擇救助倒地的女孩，環境無疑影響着我們的一舉一動，但我們並非受其支配。

佛山慘劇已經發生，與其指罵那十八位途人，不如借此機會反省良心的脆弱，警剔自己並向自己承諾，以後碰上需要幫助的人，定要抗拒袖手旁觀的惰性，鼓起勇氣去做應該做的事。

（2011 年 10 月 23 日 明報星期日生活）

跟路透社算一算賬

（本文幾星期前寫，由於信報整理版面，今週才刊出，已經有點過時……）

路透社真厲害，諾貝爾得獎名單早在他們意料之內。今年物理學獎、化學獎、醫學獎、經濟學獎得主都給路透社「貼中」，究竟是什麼回事？

事情追溯至 1989 年。當年，路透社開出一張二十人名單，說是最有機會贏取諾貝爾醫學獎的人士，其中二人即年應驗，其後還有四人分別在 1992、1994、2000 及 2002 年獲獎。至今經歷二十多屆，那張名單才二十中六，成績不算優異。

1990 年，路透社再接再勵，開出十二人物理學獎名單和十人化學獎名單；至今，物理學名單有三人得獎（其中一位獲頒化學獎，即是猜對了人但猜錯了獎，無謂太嚴苛，算猜中吧），化學名單有四人得獎，預測也不算準繩。

同是 1990 年，有人發表論文〈Who Will Win the Nobel Prize in Economics? Here's a Forecast Based on Citation Indicators〉，列出五十位被引用最多的經濟學家，其中十五人當時已經是諾獎得主，另外七人在往後年份陸續獲獎。該篇論文之外，很多研究亦指出，同行引述的多寡與獲頒諾貝爾獎是有關連的。事實上，路透社的預測名單也是用類似方法，根據學術文獻的引述次數來決定諾貝爾獎的熱門人選。

寫學術論文不似我寫專欄，每一組數據、每一項事實、每一個說法都要列明出處的，拾人牙慧固然可以，但牙慧的來源必須列明，就是因為這種嚴格的要求，誰人的著作被引用得多，是數得出來的。學術期刊有聲譽高低之分，聲譽高的期刊引述一次當然來得更有「份量」，點算引述次數時，期刊聲譽也會計算在內。簡而言之，這種計分法把學術成就與著作被引述的次數掛鈎，支持者說是客觀，反對者說是過於機械化，無論如何，它已成為學術市場的一部分，成為評核學者的一種標準，高等學府以此作為教職員聘用和升遷的考慮之一，路透社則以此作為預測諾貝爾獎的工具。

然而，路透社深知引述次數不是故事的全部，漸漸加入其他較難量化的判斷，例如哪些貢獻最被重視，哪些發現值得特別表揚等；優化其預測系統後，路透社自 2006 年起每年都開出物理、化學、醫學和經濟學獎的預測名單（以前只是偶然為之），每科名單少則四人，多則八人，至今六屆，成績如何？

路透社對自己的要求不太嚴苛，每屆落空的預測順延至下屆，「預測有效期」無限（直至某人逝世，諾貝爾獎不會死後頒發的），人選年年累積，「貼中」機會理應逐年提高，情況是不是這樣？下圖顯示六年來的預測成績，今年真是「戰績彪炳」，四獎全中共九人：三位發現宇宙加速膨脹的，在路透社 2010 年物理學名單之內；三位研究免疫系統的，二人在 2008 年名單，一人在 2010 年名單；那位發現準晶體的化學獎得主及兩位經濟學獎得主，均在 2008 年名單之內。


隨着人選不斷擴大，路透社要在來年維持「彪炳」的預測成果，我看不是太難。如果成功率反降，他們的預測系統才真有檢討的必要。

（2011 年 10 月 22 日 信報副刊）

The Meaning of Pizza

Source: BoingBoing

世界本是一場戲

今日《信報》整理版面，專欄暫停，看看其他。

攝影師幫助我們看見世界，但有沒有想過，那些影像可能是「假」的？

意大利人 Ruben Salvadori 深入東耶路撒冷，目睹一些攝影師刻意鋪排情景，並非拍攝實況，以下是他的報告：



你可能怪責他們不誠實，在說謊；我覺得不用太介懷，電影、戲劇、小說也是「假」的，我們依然享受一個說得好的故事；相反，我們對所謂「事實」的追求是不是想像中那樣貫徹呢？去旅行，你喜歡遊覽異地美麗的一面，還是真實的一面？無論怎麼說，很多人事實上只會遊覽美麗的一面。

也不能把責任完全推給攝影師，讀者愛看，他們才拍。我不是叫大家「反省」，這裡沒有人需要「反省」，不過是人的本性。以後看見感人的照片，不要感動得太「義無反顧」就是了。

Source: PetaPixel

超光速粒子的來龍去脈

微中子（neutrino）突破光速的消息，經媒體廣泛報導，大家應該「耳熟能詳」。挑戰相對論不是說着玩的，extraordinary claims require extraordinary evidence，今天就讓我們看看有什麼驚人證據支持這驚人結論。

「事發地點」在意大利 Gran Sasso 深山，那裡有個絕不微小的微中子探測器，重量超過一千噸，接收遠在瑞士和法國邊界的 LHC（Large Hadron Collider，大型強子對撞器）發射出來的微中子，兩地相距 730 公里。如此「山長水遠」，大部分粒子會被中間的岩石阻隔，唯獨微中子絕少與正常物質「打交道」，因而才能「直行直過」穿越幾百公里地底。由於微中子這種「孤僻」的特性，探測是極端困難的，現時還未知其質量，只知它非常輕，可能不及電子一百萬分之一。

微中子固然神秘，但計算其速度一點也不神秘，稍懂常識都知道：速度＝距離／時間，若對超光速的結論抱懷疑，首先就是懷疑距離和時間的偏差。先看時間，微中子由 LHC 飛到 Gran Sasso 之需時是怎樣量度的呢？LHC 以質子（proton）撞向石墨，產生一大堆其他粒子，這些粒子在衰變過程中再產生微中子。實驗不可能巨細無遺地追蹤每顆粒子，哪顆 LHC 質子衍生哪顆 Gran Sasso 捕捉到的微中子，根本無法追查，情形好像一次混亂的馬拉松賽跑，一批黑影越過起跑線，中途擾攘一番，兩小時後一批黑影衝過終點，怎計時呢？不能逐顆計時，但整體而言有跡可尋，LHC 質子的時間分佈（圖表上一條曲線）跟 Gran Sasso 微中子的時間分佈（另一條曲線）形狀應該相近的，把兩條曲線盡量併合，圖表時間軸的相差便是旅程的時間（好像《信報》投資版羅耕經常玩的拼圖遊戲）。

該實驗的微中子到達 Gran Sasso 比光速早 60 納秒（nanosecond，十億分之一秒），「統計信心值」為六個標準差，即是只有 0.0000002% 機率是運氣使然；從統計學角度，實驗裡的微中子比光速快 60 納秒這個結論是近乎「鐵證如山」的。

為什麼量度的「起點」是質子不是微中子？LHC 不能探測微中子的，質子撞擊石墨之後，微中子可在一公里隧道內任何一處誕生，很明顯這可能導致一些誤差。實驗團隊的說法是，由於質子近乎光速，與微中子相差無幾，微中子在隧道哪處誕生並不重要，根據電腦模擬，這樣引致的誤差少於一納秒，相對微中子比光速早到 60 納秒，影響不大。

另一要點是 LHC 和 Gran Sasso 的時鐘必須是同步的，如何保證呢？運用 GPS 衛星。每顆 GPS 衛星都會廣播自己的時間，兩地同時見到某顆衛星，便可借其廣播來「較準」時鐘了。實驗團隊聲稱，兩地時鐘誤差大約二納秒，相對 60 納秒而言，影響也不大。

兩地的距離又有多準確呢？他們曾以多種方式量度（例如用光纖傳送光束計時），斷言誤差頂多 20 厘米（那是 730 公里裡的 20 厘米），這是少於一納秒的光速旅程。

時間看似十分準確，距離看似十分準確，還有什麼可能出錯？這就是問題，好像再沒什麼可能出錯。據我看過科普網站和博客之評語，實驗本身是紮實可信的，唯一啟人疑竇就是違反相對論，亦與二十多年前一次超新星爆發的觀察相左。

1987 年 2 月 23 日，分別位於日本、美國、俄羅斯的三個微中子探測器偵測到一批外太空飛來的微中子，當時仰望夜空，未有異像。三小時後，一顆超新星爆發的光線終於抵達，肉眼都看得到；這顆超新星命名為 1987A，因為它是 1987 年發現的第一顆。微中子先於光線到達地球，豈非超光速？事情沒有這樣簡單，天文理論預測超新星爆發首先製造微中子，然後才製造可見光，飛得近乎光速（沒有超過）的微中子先於光線抵達，證明了理論的正確。有人算過，如果那些微中子飛得像 LHC 至 Gran Sasso 那樣快，應該早四年抵達地球，並非早三小時。

很多人執着這點否定超光速微中子的可能，但這種質疑也不見得深思熟慮，超新星的微中子與 LHC 的微中子有着不同能量，會否因而快慢有別？微中子會否在地心吸力之下才超光速？沒有答案。

況且，我們也並非第一次捕捉到超光速微中子，2007 年美國有過同類實驗。芝加哥 Fermilab 的粒子對撞器把微中子射向 800 公里以外一個明尼蘇達鐵礦坑，同樣測出超光速，不過由於誤差頗大，「統計信心值」不夠高，大家都把「疑點利益」歸於愛因斯坦，繼續相信相對論，媒體也沒有掀起太大波瀾。

今次「統計信心值」極高，實驗結果非常「肯定」，總算引起學術界注意。不過相對論經過千錘百煉，經無數實驗及天文觀測驗證，大家對超光速微中子暫時都是半信半疑（甚至極度懷疑），等待更多證據。上述那個明尼蘇達鐵礦坑實驗將會「鹹魚翻生」，安裝更先進的 GPS 接收器、原子鐘和探測儀等，希望降低誤差，對微中子的快慢作一獨立查證，最快 2014 年有結果。

假若超光速真有其事，相對論怎算？過去作的天文觀測要不要重新計算？現在言之尚早，可以肯定的是，相對論不會完全被推翻，正如相對論沒有完全推翻古典力學一樣。古典力學在日常情況還是適用的，相對論實是包含了古典力學，再擴充至古典力學沒有觸及的範圍。假如超光速真有其事，相對論可能要修正，但不會完全被推翻。有些觀點甚至認為，相對論根本無須修正也可解釋超光速，微中子可能中途跳出了我們熟悉的三維空間，穿越其他維度，縮短了路程，快些抵埗也就不足為奇；相對論非但無須修正，更證實了更高維度的存在，這可能是超光速微中子的真諦。

最終結局如何？我討厭陳腔濫調，但還是要陳腔濫調地說一句：請大家拭目以待。

（2011 年 10 月 8 日 信報副刊）

火星漫步

去週事忙無暇寫文，專欄暫停一次。

太空人在月球行走喜歡跳吓跳吓的，因為月球引力小。



上月球之前，美國太空總署做過實驗，模擬月球引力下走路。該片不准嵌入，大家唯有點擊這裡看看吧。（基本上是吊着一個人在傾斜的表面行走，傾斜愈多等於引力愈小。）

最近澳洲一個展覽展出了火星步行模擬器，由於火星引力比月球大，那「地面」傾斜得較少。看以下片段便大概知道火星漫步是什麼模樣。



Source: New Scientist

成功只須靠運氣

對未成名的人來說，本文將會是一種鼓勵。已經成名的人，隨你看不看。

每次碰見蔡卓姸唱歌，不禁要問，世上聲線比她甜美、歌藝比她優秀、樣貌比她可愛的大有人在，她的成功究竟建基於什麼？強大的宣傳？市場定位？

劉子千那一曲《唸你》，我看過 MV 後真對其掀起的風潮摸不著頭腦，此曲唱法固然特別，但給我唱有何分別？世上「獨特」的唱腔何其多。

當然，在世俗人眼中，成王敗寇，成功必然有些優勝之處，某某歌星必然有些賣點，某某歌曲必然滿足了某些市場需求，某某演員必然有些氣質，某某經理人的眼光亦毋庸置疑。可是，這些摸不着的賣點、需求、氣質、眼光有多少是先見之明，有多少是「馬後炮」，沒人知道。

《哈利波特》的手稿曾遭八間出版社拒絕，若能從頭再走一遍，肯定出版商紛踏而至作者羅琳的門前，然而誰能保證《哈利波特》重蹈偉績？

近日網上瘋傳的文章《風沙渡－－拒絕平庸》，究其過人之處，是作者王希的文采，還是改卷老師的慷慨？在另一個地球，假設同一文章拿「平平無奇」的九十七分，它會是「平平無奇」的另一篇好文章嗎？在第三個地球，同一文章再拿滿分，又一定傳得家喻戶曉嗎？

另一個地球的事，唯一說得準的就是誰也說不準。起點如一，結局也未必一樣。

五年前有過這樣的實驗。四十八首新歌，讓一萬四千多位註冊網民試聽，並供下載。第一批用戶的介面，歌曲隨機排列，只列出歌名及樂隊：

歌曲戊，樂隊Ｅ
歌曲甲，樂隊Ａ
歌曲丁，樂隊Ｄ
.
.
.

不知道每首歌曾被下載的次數，亦即不受「潮流」左右，每人根據自己的口味選歌下載。這介面逼使網民對歌曲作出獨立判斷，愈多下載可視為歌曲質素愈高，不是人人贊同，但起碼這是最不受「潮流」影響的集體評價。同一介面給另一批人使用，歌曲人氣當然有差別，但還是有跡可尋，好歌通常受賞識，爛歌通常無人問津。

第二種介面，歌曲也是隨機排列，但同時列出下載次數：

歌曲乙，樂隊Ｂ，１３次
歌曲辛，樂隊Ｈ，３５次
歌曲庚，樂隊Ｇ，８次
.
.
.

看見下載次數，難免受人影響，學術說法是加添了 social influence。此介面的用戶漸漸發展出自身的「潮流」，這個並不意外。問題是，若果重新開始，另一批用戶會否發展出截然不同的潮流，「歌曲排行榜」面目全非？答案是肯定的。事實上，此介面先後試行了八次，用八批不同的用戶，在這八個「平行世界」裡，同一首歌的人氣可有天淵之別，潮流難以捉摸；不要忘記，他們聽着相同的四十八首歌。

顯示下載次數還有另一效果，歌曲的堅尼系數增加了（堅尼系數計算一組數字的不均程度，不僅應用於財富，任何一組數字都用得着），即是人氣「懸殊」了，受歡迎的更受歡迎，無人問津的更無人問津。

Social influence 增加了歌曲人氣的鴻溝，亦增加了潮流的不確定性。

第三種介面近乎現實，最受歡迎的歌曲先行，social influence 更加顯著：

歌曲己，樂隊Ｆ，５０次
歌曲甲，樂隊Ａ，４３次
歌曲癸，樂隊Ｊ，３１次
.
.
.

此介面也試行了八次，用八批不同的用戶，呼之欲出的結果是：人氣更懸殊，潮流更難捉摸。

實驗說明，起點如一，結局也未必一樣，尤其充滿 social influence 的時候。誰人走紅，哪首歌熱播，哪本書熱賣，哪篇文章傳世，只有事後孔明。

科學研究有時很矛盾，很努力去理解某些事，為的是能預知未來；當發覺未來無法預知，又要理解因何無法預知，希望理解之後便能預知，總是放不下渴望預知的情意結。承認潮流無法預知，應如何解釋其 unpredictability 呢？

西方人取名也有潮流，以美國為例，「Ashley」這個在九十年代最普遍的女名，在五十年代近乎不聽聞；「Mildred」今日幾近絕跡，在 1900 年代是第九常見的女名。名字潮流看似不明所以，卻潛藏着一種十分有趣的規律，就是不論年代，縱然沒有中央計劃的取名制度，最普遍那一堆名字的頻率竟然自動吻合一條特定數式（例如第一頻率永遠是第二的若干倍，第二又是第三的若干倍，排名之間的頻率比例不隨時代轉變，儘管名字變了；此定律稱為 power law，很多自然及社會現象包括唱片和書本銷量也吻合這條定律的），什麼取名策略能夠衍生這種宏觀現象呢？

無法回到過去逐家詢問之下，有些科學家創作理論模型，注入各種取名策略，看看模型吐出什麼樣的頻率分佈。原來覆製「以假亂真」的頻率分佈易如反掌，只需注入一種異常簡單的取名策略：在遇過的名字中隨機抽樣，抽中機會與普遍程度成正比。即是說，父母在遇過的名字中隨意選一個給孩子，愈常遇見選中的機會愈大，當所有父母這樣做的時候，名字潮流自會此起彼伏，模型內的頻率分佈與現實世界不謀而合。（這不代表父母真的「隨意」，只是其集體行為的表徵與隨機無異。）

以這個說法，流行的名字並非有着什麼「過人之處」，純粹或然率使然。好像很難接受，但想深一層不無可能，假設名字像傳染病，每遇一人有萬分之一機會傳染，由於傳染性不高，任何一種傳染病大爆發的機會很低；但世上有成千上萬種傳染病，難保沒有一種成為「幸運兒」，連番穿越那萬分之一的裂縫，肆虐全球。此種傳染病毫無「過人之處」，其「成功之道」只有一件：幸運。中六合彩機會渺茫，但幾百萬張彩票之中，總有一張抽中吧。

歌曲、書籍、電影等文化產物的成敗能不能以此解釋？絕對有可能，未必是真相的全部，但極有可能是真相一部分。我們不也是在日常生活的所見所聞「隨機抽樣」揀選我們的喜好嗎？

集合本文線索，我不免達到一個結論：所有成功必須靠運氣，有些成功完全靠運氣。這也不錯，靠運氣的世界才是有希望的世界，因為幸運之神不會偏袒，至少我們這樣相信。若實力決定成敗，頂尖才會贏，那 99.9% 的人未嘗試已經失敗，這是多麼沮喪的世界。

未成名的人，千萬不要放棄，成功條件你已齊備，缺乏的只是運氣。（我經常這樣鼓勵自己）

（2011 年 9 月 24 日 信報副刊）

學術參考：
Matthew J. Salganik, Peter Sheridan Dodds, Duncan J. Watts (2006), “Experimental Study of Inequality and Unpredictability in an Artificial Cultural Market,” Science 311, 854-856. doi:10.1126/science.1121066

Matthew W. Hahn, R. Alexander Bentley (2003), “Drift as a mechanism for cultural change: an example from baby names,” Proc. R. Soc. Lond. B 270, S120-S123. doi:10.1098/rsbl.2003.0045

一個水樽照亮整個屋企

這個廣告，你一定要睇。Amazing!

繞着地球飛

James Drake 從 Gateway to Astronomy Photograph of Earth 下載了 600 幅國際太空站拍攝的照片，串連成這個 time-lapse。



YouTube 這樣介紹：
This movie begins over the Pacific Ocean and continues over North and South America before entering daylight near Antarctica. Visible cities, countries and landmarks include (in order) Vancouver Island, Victoria, Vancouver, Seattle, Portland, San Francisco, Los Angeles. Phoenix. Multiple cities in Texas, New Mexico and Mexico. Mexico City, the Gulf of Mexico, the Yucatan Peninsula, El Salvador, Lightning in the Pacific Ocean, Guatemala, Panama, Columbia, Ecuador, Peru, Chile, Lake Titicaca, and the Amazon. Also visible is the earths ionosphere (thin yellow line), a satellite (55sec) and the stars of our galaxy.

塌屋錯覺

這叫 collapsing house illusion，如何造出來，看至片尾便知道……



Source: New Scientist

拾荒者與酒徒教授的對話

布朗先生是一名病態酒徒，行路東歪西倒，跌跌撞撞，漫無目的地終日流連街頭。

利維先生也是一名病態酒徒，行路東歪西倒，跌跌撞撞，漫無目的地終日流連街頭。分別是，利維先生踏着滾軸溜冰鞋，心血來潮可以一溜數里，轉轉環境透透氣。

我是一名無業游民，以拾荒為生，行人路上的錢幣是主要收入來源。不知最近香港人謹慎了，還是像我這樣的人多了，街上硬幣日見稀少，搵食真是愈來愈艱難。某天遇上布朗先生和利維先生，二人都是前度大學教授，向其請教，渴望求得一點具建設性的提議，助我拾獲更多路錢。

布朗先生：路錢出現的地點和時間基本上是隨機的，無跡可循，用 Brownian walk 或者 Levy walk 都無乜分別。

我：用邊隻「鑊」話？

利維先生：Brownian walk，是布朗先生飲醉時的漫步形式；Levy walk 則是我飲醉時的漫步形式。我和他飲得醉薰薰的時候，走路只是無意識地向四方八面踏出一步，根本不知想去哪，這點我和他是一樣的，你可以說我們在「隨機漫步」。但由於我有滾軸溜冰，偶然無意中一溜溜得很遠，這是我和他的分別。

我：例如我們現在旺角，飲醉了，布朗先生傾向在附近……ur……隨機漫步，你則可能溜去深水埗隨機漫步，這樣理解對不對？

利：深水埗隨機漫步一陣子，可能又會溜去美孚，說不準。我其實愛去九龍塘和尖沙咀，但飲醉了根本不知道。

布：說明隨機，我未必長留旺角，可能漸漸移近油麻地也說不定。布朗漫步是循序漸進的，利維漫步則偶然有些 big jump。

我：乜嘢「針」話？

利：Big jump，大躍進。布朗先生喜愛慢慢走開去，我則偶然大步走。回到你的問題，找路錢，用布朗漫步或利維漫步伐算一些？真的很難說。

布：我說了，路錢是隨機出現的，哪種漫步沒分別。

利：我記得去年一個研究，在鯊魚、吞拿魚、旗魚等十四種獵食性魚類裝上追蹤器，共錄得超過一千萬次記錄，發現牠們有時布朗漫步，有時利維漫步，但什麼情況用哪種，記不起。

我：牠們與我何干？

布：你在繁忙鬧市找路錢，牠們茫茫大海找獵物，不是一樣嗎？動物的本能經億萬年進化的塑造，十分善長在大自然求存，從其身上「偷師」應有不少得着。

我：可惜人類歷史太短，沒有億萬年撿拾路錢的經驗，否則我今天也不用為此煩惱了。

利：呀！記起了，牠們在食物豐饒的海域愛用布朗漫步，食物稀疏的海域愛用利維漫步，換句話說，多食物的地方布朗漫步覓食比較有效，少食物的地方應改用利維漫步覓食了。

布：只是裝上追蹤器，怎知牠們一定在覓食？

利：當然不肯定，但兩種漫步形式與兩種海域的配對十分吻合，而且學者曾經理論上推敲過，在獵物稀疏的地區利維漫步優於布朗漫步，這次所得結果與理論預測相符。此外，不單只魚類，其他動物如蜜蜂、猴子等覓食時也有利維漫步的跡象。

布：動物的行蹤能以某些數學概念概括，的確很動聽，但動物是否這麼「愚蠢」呢？牠們不會對周遭環境作出反應，只懂跟隨一些數字原理麼？

利：行為合符數字原理不代表那些行為是盲目的，可能……

我：喂喂，這些哲學性問題請待我離開之後才討論，我只想知道應該學你漫步還是學你漫步？

利：多路錢的地區，學布朗先生；少路錢的地區，學我。

我：怎知哪裡多，哪裡少？

布：漫步一下便知道了。

我：即是說，我首先在這裡附近搜索一番，有斬獲便繼續搜索，沒斬獲便……沒斬獲即是該區少路錢，學你跳去另一區，碰碰運氣……

利：全對。

我：唓！咁我洗乜問你啫！有斬獲便繼續搜索，沒斬獲便去遠一些碰運氣，這算什麼「策略」？街頭智慧吧了。

利（對着布）：你看，街頭智慧能夠造出利維漫步的表象。某些行為合符數字原理不代表那些行為是盲目的，相反，數字原理恰恰反映當事者的隨機應變，是智慧的表現呢。

布朗先生點頭稱是，與利維先生一同飲酒去。而我，迅即忘卻那些學術蛋頭的誇誇其談，繼續我的撿拾生涯，在大街小巷運用天賜的那一點點智慧，撈取那一點點糊口的生計。

（2011 年 9 月 17 日 信報副刊）

學術參考：
Nicolas E. Humphries, et al. (2010), “Environmental context explains Levy and Brownian movement patterns of marine predators,” Nature 465, 1066-1069. doi:10.1038/nature09116

David W. Sims, el al. (2008), “Scaling laws of marine predator search behaviour,” Nature 451, 1098-1102. doi:10.1038/nature06518

天外來塔

專欄改為週六刊登，今天看看其他。


這是倫敦 2012 年奧運的標誌建築物，官方名稱 ArcelorMittal Orbit，有人叫它 Hubble Bubble、Eyeful Tower、a roller coaster that costs £19 million a go、twisted spaghetti、horrific squiggles 等等。我喜歡它的外形，很獨特，你感覺怎樣？

建塔所需二千四百萬美元的鋼材，由印度鋼鐵公司 ArcelorMittal 提供。


Source: Mail Online, New York Times, The Guardian

真理愈辯愈唔明

菲傭爭取居港權，又一分化港人的導火線。反方堅稱這會導致大批外傭湧入，攤薄綜援、房屋、教育、醫療等福利；支持者則指反方危言聳聽，強調申請未必獲批，入境條例足以把住香港的大門云云。

看穿表面的紛紛擾擾，菲傭案骨子裡就是「既得利益者」是否容許一批「阿燦」成為其一份子，及「阿燦」成為「既得利益者」後對社會帶來什麼影響，這與美國十九世紀解放黑奴、五十至六十年代黑人民權運動、南非 1994 年放棄種族隔離政策、香港七十年代容許抵達市區的內地偷渡人士成為香港居民的抵壘政策何其相似。假設菲傭勝訴，大批湧港，給香港帶來什麼衝擊？實在不必爭拗，大量歷史事例可供借鏡。

香港大學某學者曾經搜集二十世紀世界各地大規模收容難民（如香港的抵壘政策）及擴大公民資格（如南非放棄種族隔離）的案例，在 42 個案例之中，33 次十年內人均 GDP 每年增長 3% 或以上；所有案例合計，人均 GDP 十年內年均增長 2.4%；其他因素調節過後，發現公民資格每擴充的 0.01%，人均 GDP 便會上升 0.04 個百分點。

然而，案例中的社會經濟環境與香港今日相同嗎？案例中的「新公民」是否如香港菲傭「清一色」為家庭傭工？還幾乎全部是女性？菲傭案或多或少牽涉香港與菲律賓的外交，這些外交瓜葛對經濟可有意想不到的影響？還有這類統計分析的最大盲點，是新公民拉高人均 GDP，還是人均 GDP 正在增長的地區較樂意接納新公民呢？

另一位港大學者作了另一項研究，翻查加拿大各省及美國各州由 1955 至 2005 年的資料，嘗試找出低薪移民對當地福利制度的衝擊。他發現，低薪移民與福利開支高度相關（very correlated），每接納總人口 0.01% 的低薪移民，福利開支便增 0.1%。

香港的福利與美加不可同日而語，而且研究只涵蓋二國，有多少代表性呢？菲傭在港人數眾多，遇上困境不難找到同鄉支持，其對福利制度的負荷會否較外地「一般」低薪移民為輕？不少菲傭擁有高學歷，你肯定她們「低薪」？此外，又是這類統計分析的最大盲點，低薪移民扯高福利開支，還是福利慷慨的地方較為吸引低薪移民呢？

看過兩項研究，你變得：

（A）更怕菲傭蜂擁而至，更把她們拒諸門外？
（B）更不介意中門大開？
（C）更意識到社會議題的複雜性，更願聆聽正反雙方的論據？

§

Sorry，我再次欺騙了大家，上述兩項研究都是假的，我在模仿三十二年前美國史丹福大學一次實驗。當時，死刑是討論熱烈的社會議題，有人主張廢除，有人主張保留，無論站在哪一方，意見都是挺強烈的。共四十八人做實驗，二十四位支持死刑，二十四位反對，每人都要順序閱讀以下四組資料：

（一）第一個研究結果，「某某研究比較十四州執行死刑之前和之後一年的謀殺率，其中十一州的謀殺率有所下降，此說明死刑是有阻嚇作用的」；
（二）再讀一些對於這個研究的批評及作者的反駁；
（三）第二個研究結果，「某某研究比較死刑法例不一的相鄰州份，十次比較之中的八次，有死刑的州份謀殺率較高，此說明死刑是沒有阻嚇作用的」；
（四）再讀一些對於這個研究的批評及作者的反駁。

第一及第二個研究出現的次序可以調換，以排除次序對整體結果的影響。所有人接受同一套「教育」，對死刑的看法靠近了嗎？恰恰相反，是疏離了，原來支持的更支持，原來反對的更反對。用今日的說法，「社會兩極化」了。

為什麼？因為人有 confirmation bias，喜歡確認自己的看法，喜歡證明自己對。芸芸理據擺在眼前，「啱口味」的立刻接受，意見相左的不屑一顧。Confirmation bias 有以下症狀：

（一）雙重標準：你看甲不順眼，雞蛋裡挑骨頭，甲看來更不順眼；乙給你好印象，對他有讚無彈，令好印象更加難忘。
（二）選擇性失聰：「市民支持堵塞補選漏洞，遞補機制乃民意所歸。有人不支持？有嗎？」
（三）主觀願望式解讀：「李克強向我微笑，顯然是滿意我的治港政績。」愈想愈是心花怒放。
（四）閱讀偏食：親共的人看文匯報，反共的人看蘋果日報。

總之，we only see what we want to see。三十二年前的史丹福實驗，讀過同一組資料的人意見更為兩極化；剛才被我欺騙過的你，揀了 A、B、抑或 C？

有辦法減低 confirmation bias 嗎？我遍尋學術文獻，找到的不外乎提醒自己易地而處、嘗試從他人角度看問題等說完等於沒說的提議，如果行得通，社會也兩極化不到哪裡去。看來，confirmation bias 是一種深植人心的偏見，作為凡人，完全中立地看待紛陳的議論近乎不可能。在社會問題愈來愈複雜、不是一言兩語說得清的今天，在每人都有發表渠道、都有偏聽自由的世界，「真理愈辯愈明」是多麼過時的陳腔濫調。

（2011 年 9 月 8 日 信報副刊）

學術參考：
Raymond S. Nickerson (1998), “Confirmation Bias: A Ubiquitous Phenomenon in Many Guises,” Review of General Psychology 2, 175-220.

Charles G. Lord, Lee Ross, Mark R. Lepper (1979), “Biased Assimilation and Attitude Polarization: The Effects of Prior Theories on Subsequently Considered Evidence,” Journal of Personality and Social Psychology 37, 2098-2109.

你試過咁樣上飛機未？

這是一架波音 757 座位平面圖。

傳統登機方法由後排登至前排。

換作左邊這個登機次序，快多少？

最近做過實驗，傳統登機需要 6 分 54 秒，左圖次序只需 3 分 36 秒，幾乎快一半。

要隔行，行李上架時不用跟前後座位的乘客禮讓。

窗口位入先，避免入座時跨過已坐下的乘客。

現實上沒可能控制得這麼仔細，但以下步驟大概可行吧。

「請單行 A 及 F 位乘客登機」
「請雙行 A 及 F 位乘客登機」
「請單行 B 及 E 位乘客登機」
「請雙行 B 及 E 位乘客登機」
「請單行 C 及 D 位乘客登機」
「請雙行 C 及 D 位乘客登機」

可行與否不打緊，最重要是不要墨守成規，不斷尋求更好方法。

Source: New Scientist, The Economist

機械人自編自導自演的喜劇

大家聽過 chatbot 這東西沒有？Chatbot 是一個懂得對話的程式。

美國康奈爾大學有個 Cleverbot 網站，當你鍵入一句說話，它會從對話資料庫中抽取最恰當的回應。

我說：Who are you?
它說：I am me.

我說：What do you think of the stock market?
它說：I think they don't think very much.

我說：Do you know who I am?
它說：You are not what you think you are.

真係好有智慧！好像同一位大師對話。

兩位大師對話會擦出怎麼樣的火花？把兩個 Cleverbot 連接起來，以下就是它們的對話。



想不到兩個機械人竟然會討論神。最後那一句 "Au revoir" 看似是法文，我唔知點解。若沒有第三方終止對話，它們可以罵到永遠，阿門。

Source: New Scientist

這篇文章無咩用

數字推理，空格內應填上什麼？

1, 2, 3, 5, 8, 13, ___, 34, 55, 89, ___, 233

答案：21, 144。這是舉世聞名的 Fibonacci Sequence，可稱作「費氏數列」，每項都是前二項之和。

香港這個功利社會，事事講求實用，每一個課程，每一門學科，每一項研究，每一點新知，大家都會本能地問：有咩用？費氏數列，除了數字推理，有咩用？

Fibonacci 是一位中世紀數學家，生於比薩（Pisa，比薩斜塔所在），其名來自“fils de Bonaccio”，即“son of Bonaccio”的意思。傳說某天父親問兒子，今天帶一雙幼兔回家，任由其自由繁衍，一年後家中會有多少兔子？這裡當然要作些假設。首先，假設幼兔需要一個月才發育成熟，進行交配，懷孕一個月後誕下一雙幼兔；分娩後再次交配，一個月後誕下另一雙幼兔，如此下去，每月生產一雙。新生幼兔的歷程和父母一樣，發育一個月，以後每月生產一雙。假設沒有兔子死亡，十二個月後共有幾雙兔子？

每月的兔子雙數就在費氏數列之內。一個月後 1 雙，四個月後 5 雙，八個月後 34 雙，十二個月後 233 雙。半信半疑的讀者歡迎逐月點算。

這就是費氏數列的用途，除了在數字推理攞分，也可在爸爸心目中加分。除此之外，仲有咩用？

大家應該聽過「黃金比率」。自然界很多尺寸，人體很多部分的比例，許多歷史性建築物的長闊，攝影大師的構圖，都符合黃金比率。簡單來說，符合黃金比率的物件看上去總是特別的「美」，古希臘數家學甚至把黃金比率與「完美」扯上關係。黃金比率的準確數值為 (1+√5)/2，即是多少？那平方根很嚇人，費氏數列提供了一條捷徑。把費氏數列每一項除以前一項，其商數會趨近黃金比率：

5/3 = 1.66666...
89/55 = 1.61818...
233/144 = 1.61805...
黃金比率 = 1.61803...

神奇不神奇？黃金比率與費氏數列的關係千絲萬縷，前者在大自然屢見不鮮，後者亦不會罕見。

記得一個電視廣告，女生拿着菊花，一邊剝花瓣，一邊數着「鍾意佢，唔鍾意佢……」，你估菊花通常有多少塊花瓣？視乎品種，可能有 21、34、55 或 89 塊，全屬費氏數列，這是植物學家的說法。我上網搜尋菊花照片以作印證，多數照片未能清楚顯示花瓣數目，勉強數一數，得出結果與上述數字頗為吻合，相差不過一至二塊。根據植物學一貫說法，很多花卉都有費氏花瓣數目；原本只是用來推算一群虛構兔子的費氏數列，怎與現實世界的花朵扯上關係？

這還不只。相信大家見過松果，當你從底部觀察，會發現松果的「瓣」形成一組向右或向左的螺旋，數一數，螺旋數目應該也是費氏數值。

現在仰頭看看樹葉，怎樣在樹枝上排列的呢？十八世紀植物學家 Charles Bonnet 說得好，讓我抄襲他的說法。想像一條圓柱體樹幹，垂直畫五條直線，平均分佈在圓柱體表面；放一塊葉在第一條線的底部，放第二塊葉在第三條線較高之處，沿着同一方向，第三塊葉放在第五條線，第四塊葉放在第二條線，第五塊葉放在第四條線，第六塊葉回到第一條線，開始新的一圈。換句話說，五塊葉繞樹幹兩圈，葉與葉之間的角度為 2/5 圈，或 144 度。這是其中一種排列，其他排列包括（但不限於）：1/2（兩葉繞一圈，最簡單）、1/3（三葉繞一圈）、3/8（八葉繞三圈）、5/13（十三葉繞五圈）。除了最簡單的 1/2 之外，有沒有發覺分子與分母在費氏數列隔着一項？

為何費氏數列無處不在？坦白說，科學家不明原因，可能與細胞生長的機制有關，很多猜想，但沒人知道誰的正確。許多自然現象都是這樣，發現容易，解釋困難。

樹葉是光合作用之所，其排列是否為收集最多陽光而設？科學家創作了很多模擬樹葉排列和陽光照射的模型，嘗試計算那種排列最佳，據我所知，未有定論。或許他們太沉醉於自己的模型「玩具」，忽略了另一更容易、更踏實的研究途徑 －－ 實驗。

科學家忘記做的實驗，最近給美國紐約州十三歲少年 Aidan Dwyer 捷足先登。某年冬天，他到郊外遠足，被各適其式的樹枝和樹葉吸引住。從此，他收集各種樹葉進行研究，基本上重新發現以上各種排列模式。是否有助收集陽光呢？他用鐵枝代替樹幹，自製了一棵矮樹，再模仿 2/5 的樹葉模式把一片片太陽能電池裝上，這是一棵以太陽能電池代替樹葉的鐵樹。此外，他把同等數量的太陽能電池平鋪在木板之上，如一般太陽能電池板一樣。兩者放在陽光之下，答案呼之欲出了吧 －－ 鐵樹產生的電能比平板多出 20%！

為什麼鐵樹較優勝呢？沒人知道。Aidan 猜想是因為鐵樹的樹葉不會全部被其他樹影遮擋，故總體來說較能維持生電。又是那一句，知道 what 容易，知道 why 困難。

知道費氏數列主宰樹葉排列，有咩用？對 Aidan 而言，這是擺放太陽能電池的新方法，他已經申請了專利，將來可能賺得盤滿砵滿。對我而言，這是賺點稿費的小把戲，編輯收貨已經心滿意足。對你而言，sorry，費氏數列真係無咩用，除了在數字推理和爸爸心目中加分之外。

（2011 年 9 月 1 日 信報副刊）

學術參考：
I. Adler, D. Barabe, R. V. Jean (1997), “A History of the Study of Phyllotaxis,” Annals of Botany, 80, 231-244.

Lynn D. Newton (1987), “Fibonacci and Nature: Mathematics Investigations for Schools,” Mathematics in School, 16, 5, 2-8.

G. J. Mitchison (1977), “Phyllotaxis and the Fibonacci Series,” Science, 196, 270-275.

一百米的失望

世界田徑錦標賽正在南韓大邱舉行。男子 100 米決賽，大熱門兼世界紀錄保持者 Usain Bolt 竟然偷步，取消資格（現今規例是偷步一次即取消資格）。

有人說，Bolt 偷步之前，在他右線的 Yohan Blake 有一似有若無的晃動，會不會是 Bolt 偷步的導因？對世界級選手而言，身邊任何異動都可能 trigger 起步，是本能。

Yohan Blake 最終贏得冠軍。他在起步點有沒有輕微晃動，大家自己判斷吧。

不要多想，只要有樣學樣

「清侵磨較叉燒包」……
「清侵磨較叉燒剪」……
「清侵磨較叉燒揼」……

二人在玩包剪揼，有贏有輸有打和，不是什麼新奇事。最新奇的是，此情此景發生在英國倫敦某所大學實驗室之內，二人還要蒙着眼睛，他們正在搞什麼？

在場還有第三人，作為裁判，負責記錄賽果。很多很多回合之後，甲勝三分一，乙勝三分一，和局恰好三分一，這是預期之內。

現在脫下其中一人的眼罩，另一人繼續蒙着眼睛，賽事將會如何演變？回復視覺會否佔盡上風？

很多很多回合之後，蒙眼者勝出 32.4%，有視力者勝出 31.3%，回復視力竟然有害無益，怎會這樣？研究沒有揣測蒙眼佔優的底因，我亦想不出所以然，讀者大可自行猜想。該次研究「另有所圖」，其着眼點在 －－ 和局。

和局次數 36.3%，遠高於預期，真是耐人尋味。由於裁判在場監督，有視力者無法刻意「抄襲」對方的手勢以「泡製」和局；再者，該次實驗的規例說明，最終勝出最多者可獲獎金，和局無獎，因而參加者應該盡量爭勝，不該滿足於和局。種種條件之下，和局依然多於預期，內裡一定事有蹺蹊。

以每秒六十格高速拍下包剪揼的過程，有何發現？原來，蒙眼者出手較快，在 17.2% 的回合，蒙眼者快五分一秒或更多。五分一秒不足以刻意「抄襲」，但絕對足夠「不經思索的模仿」（automatic imitation），即是說，在那五分一秒的瞬間，有視力者不自覺地無意間模仿了對手，引致更多和局的出現。

這是什麼回事？人有一種傾向，看見別人打呵欠，自己便會打呵欠；看見別人說話時搔面，自己也會搔面；看見別人「印腳」，自己也會「印腳」；同伴講粗口，自己跟着講；看見別人穿拖鞋，自己也想穿拖鞋。當然不是一定，但有這種傾向，有時是想「埋堆」，更多是非自覺的潛意識使然。科學家對這種「不經思索的模仿」還未了解透徹，知道其存在，卻不大明白其由來，有的猜想人腦感官的部分與控制肌肉的部分有着某些聯繫，看見一些動作會自自然然地觸動複製同一動作的神經，使我們有一種潛在的模仿傾向。也有人說，「不經思索的模仿」可能與「同理心」（empathy）相關，是我們懂得易地而處、為他人設想的基礎。

「不經思索的模仿」有多「不經思索」呢？包剪揼實驗證明是非常的「不經思索」。遊戲規則鼓勵爭勝，參加者沒有打和的誘因，有選擇的話，應該盡力避免模仿對手，減少和局。實驗結果背道而馳，有視力者不自覺地無意間模仿了對手，清醒的意志壓抑不了模仿的衝動，以致和局頻生，完全違反追求利益的理性策略。這正是該次實驗的要旨，指出經濟學和博弈論所假設的「理性參與者」未必存在，不是我們不想理性，而是本能有時凌駕其上，根本理性不了。（當然這也不是什麼新說法，很多讀者早已領悟。）

我把 automatic imitation 譯作「不經思索的模仿」，可能造成一點混淆（但又想不到更合適的譯法）。這裡的「不經思索」中性地指「本能反射」，但「不經思索」也可貶義地指「唔經大腦」。Automatic imitation 是前者的意思，沒有貶義。至於「唔經大腦的模仿」，人類也有，心理學術語稱為「overimitation」，即是「係又學，唔係又學」，總之「有樣學樣」。

有過這樣的實驗。一個透明膠箱，箱側有個洞，洞裡有粒糖，研究員示範如何取得那粒糖。首先，拿起一根樹枝，用樹枝移開膠箱頂部的兩件物體，然後把樹枝伸入箱側的洞內，把糖挖出。膠箱頂的兩件物體純粹用來「擾亂視聽」，與洞及糖毫不相干（洞在箱側，不在箱頂），移開兩件物體純屬「無聊」之舉，對獲得獎勵毫無幫助；膠箱是透明的，任何人都看得清楚。研究員把樹枝遞給三歲小孩，說：「到你嘞。」你估小孩直接把樹枝伸入洞內，還是模仿研究員首先在膠箱頂玩弄一番？我在介紹 OVERimitation，小孩當然學齊所有動作，包括膠箱頂那些「無聊」動作。

研究員把透明膠箱帶到黑猩猩面前，作同一示範，把樹枝遞給黑猩猩，你估黑猩猩怎麼辦？牠略過所有「無聊」動作，直接把樹枝伸入洞內，挖出糖。這樣看，黑猩猩比小孩更聰明，更清楚一舉一動的用處。

實驗中的小孩全部來自西方社會的中上層家庭，這些家庭的父母喜愛指導孩子，「聽話」會得到物質或口頭上的獎勵，是否這種生活習慣令孩子「唔經大腦的模仿」？另一同類實驗去到非洲南部一些土人村落，土人文化不喜歡指揮孩子作這作那，反是帶領孩子一同狩獵，從實踐中學習。這種文化的孩子或有比較自主的性格，「唔經大腦的模仿」會否減少？答案是否定的，他們和西方孩子一樣，學齊成年人所有動作，包括「無聊」動作。

學者猜想，「有樣學樣」是人類文化的根源，就是因為「係又學，唔係又學」，只管模仿，不問緣由，習俗才能代代相傳。

無論「不經思索」還是「唔經大腦」，看來人類難以抗拒模仿的本性，以後見到 A 貨、翻版、抄襲的新聞，大家應該記住那只是我們潛意識的延續罷了。

（2011 年 8 月 25 日 信報副刊）

Overimitation 實驗





學術參考：
Richard Cook, Geoffrey Bird, Gabriele Lünser, Steffen Huck, Cecilia Heyes (2011), “Automatic imitation in a strategic context: players of rock-paper-scissors imitate opponents' gestures,” Proc. R. Soc. B. doi:10.1098/rspb.2011.1024

Mark Nielsen, Keyan Tomaselli (2010), “Overimitation in Kalahari Bushman Children and the Origins of Human Cultural Cognition,” Psychological Science. doi:10.1177/0956797610368808

Victoria Horner, Andrew Whiten (2005), “Causal knowledge and imitation/emulation switching in chimpanzees (Pan troglodytes) and children (Homo sapiens),” Animal Cognition, 8, 164–181. doi:10.1007/s10071-004-0239-6

Jessica L. Lakin, Tanya L. Chartrand (2003), “Using Nonconscious Behavioral Mimicry to Create Affiliation and Rapport,” Psychological Science 14, 334-339. doi:10.1111/1467-9280.14481

I.T. 人看中文

Source: Engrish Funny

免費報讀史丹福

史丹福大學今年秋季將會提供一些免費 computer science 課程，在網上看 lecture，做功課，有小組討論，最後還有考試。完成課程雖然沒有史丹福學分，但會得到一張 statement of accomplishment。

免費課程包括 artificial intelligence、database 及 machine learning。根據紐約時報，那 AI course 已有超過 58000 人報名。

以下是 AI course 的簡介：

bbq = pdd ?

考考大家，上圖的立法會泰美斯女神像和曾蔭權照有何不妥？

不知道？……

用心想想？……

它們左右調轉了，前者應該右手拿秤，左手執劍，後者髮型應該左邊分界。

兩星期前談過左右難分的國旗，今天談談為何我們經常左右不分。有些人，說左邊，指着右邊；我看地圖，常把東、西調轉。更奇怪的是，為什麼只會左右混淆，卻從不混淆上下和前後？

這是進化使然。假設你是原始人，在森林遇上老虎，你寧願看見老虎的左邊還是右邊？無分別。你寧願看見老虎的前面還是後面？當然是後面。你寧願看見一隻站着的老虎還是一隻倒轉的老虎？我寧願牠倒轉。在森林生存，我們需要分清老虎的前面、後面、向上、向下，但不必分清其左右，望見老虎的左邊還是右邊，反應一樣。久而久之，腦袋領悟一條「法則」，老虎的左邊「等於」老虎的右邊，望見老虎的左邊「即是」望見老虎的右邊，此「法則」深深嵌進了腦部的視覺區域，簡化影像分析使反應更快，幫助生存。我們左右不分，因為大自然裡根本不用分，腦袋亦故意不去分。

望見曾蔭權的正面，你會顯得恭恭敬敬；望見他的背脊，你開始說他壞話 －－ 前、後一定要分清。他站在台上演講，你大可打瞌睡；他表演「倒豎蔥」，便全城觸目了 －－ 上、下也要分清。他昨天左邊分界，今天右邊分界，你說：「So？」－－ 左右分界，無關宏旨。

辨認人或物，左右不分不打緊；文字不同了，必須分清左右，否則「b」和「d」一樣，「p」和「q」一樣，「信」和「訃」一樣，「出前一丁」和「」一樣！試拿起一本雜誌面向鏡子，左右調轉來讀，有困難的；試左右調轉來寫字，更困難。假如某人能夠流暢地左右調轉來寫，你一定嘆為觀止，達文西是少數有此能力的人。對一般事物左右不分的腦袋，為什麼對文字這樣「清醒」？

事實上，在那遙遠的童年，我們每人都曾經把「b」寫作「d」，把「p」寫作「q」，把這樣的一點（）寫作那樣的一點（）。事實上，不少孩子八歲前都能夠左右調轉來寫字，西方孩子如是，所有文化的孩子都如是，包括中國和日本。年紀漸長，腦袋發現「左右對調為相等」的本能不適用於文字，左右調轉寫字的能力才慢慢消失。腦部對文字「特事特辦」，有別於一般影像的處理，引申出下一個問題：對於文字，腦部完全忘記了「左右對調為相等」這本能，還是本能猶在，不過被後天壓抑住？有點像，你不再愛一個人，是你完全把她／他忘記掉，還是你根本忘不了，只讓時間把情感麻木掉？

不久前，西班牙一組學者做過實驗。電腦屏幕出現一些詞彙，每個詞彙顯示之前，屏幕會閃出提示，提示只長 50 毫秒（千分一秒），瞬間即逝，常人意識不到，但潛意識還是接收到的。提示可以是即將顯示的詞彙，或其左右調轉的鏡像。舉例，屏幕一閃「bbq」，時間太短，我不察覺，但腦袋收到了，潛意識喚起這個字，當屏幕正式顯示「bbq」，我便能很快認出字串，因為潛意識早已準備就緒。另一位受試者不及我幸運，他受測試時，屏幕閃出「pdd」（「bbq」的鏡像），然後屏幕正式顯示「bbq」的時候，由於潛意識準備錯了，他認出「bbq」字串需時較長。這是已知事實，研究不是探討這個。

研究想知的是閃出提示後腦部的潛意識反應。閃「bbq」和閃「pdd」，腦部反應有何不同？研究監察受試者的腦電波，有如下發現。提示閃出後 150 毫秒，兩者腦電波不一。250 毫秒，腦電波變得一樣，表示兩個腦袋現在「看見」同一視像。400 毫秒，腦電波再次發生差異。過程可以這樣解讀，250 毫秒的瞬間，腦袋依據進化而來的法則本能地把「bbq」與「pdd」等同了，然後在 400 毫秒再把兩者分辨開來，換句話說，腦袋沒有忘記「左右對調為相等」的本能，只是閱讀文字時，本能被後天凌駕着。

凡事總有例外，世上有些文字是不用分左右的，泰米爾文（Tamil，記得斯里蘭卡泰米爾老虎游擊隊？）是一例。古埃及的象形文字可由左至右或右至左書寫，人形及動物圖案的頭指向一行的開端。古希臘文的寫法如耕牛犁田，一行左至右，一行右至左，兩個方向的字體左右調轉。其實左右調轉書寫和閱讀並非什麼新奇事，只因現代文字絕大多數需要分清左右，硬把由來已久的本能壓抑下去。

（2011 年 8 月 18 日 信報副刊）

推薦閱讀：
Reading in the Brain: The New Science of How We Read by Stanislas Dehaene

學術參考：
Jon Andoni Duñabeitia, Nicola Molinaro, Manuel Carreiras (2011), “Through the looking-glass: Mirror reading,” NeuroImage 54, 3004–3009. doi:10.1016/j.neuroimage.2010.10.079

Stanislas Dehaene, et al. (2010), “Why do children make mirror errors in reading? Neural correlates of mirror invariance in the visual word form area,” NeuroImage 49, 1837–1848. doi:10.1016/j.neuroimage.2009.09.024

Vincent Walsh (1996), “Neuropsychology: reflections on mirror images,” Current Biology 6, 1079–1081.

電池大落後

點解 iPhone 成日要叉電？一圖講晒……

Source: Technology Review

巨人

可見阿 Shaq 有幾大隻，我條長褲只係佢條三個骨。他女朋友五尺三，他自己七尺一。


Source: Business Insider

紅綠燈只是動車（高鐵？）意外的一片芝士

搭地鐵，鄰座乘客拿着《頭條日報》，一則新聞標題「月頭花光綜援金 婦怒斬男友四刀」，據以往經驗，上到法庭，法官一定會說「……雖然你男友極不負責，但斬人不是解決問題的方法，文明社會容不下這些暴戾行徑……」之類的說話，最終判婦人罪成，酌量判刑，男友則繼續花光每月的綜援。法官，只會懲罰悲劇裡最表面那一片芝士。

西方人吃的瑞士芝士，內裡有窿，把芝士切片，就是一片片有窿的芝士。拿起一片，可從窿子窺見芝士的背後；拿起第二片，除非窿子對齊，否則視線被擋；拿起第三片，也要窿子對齊；總之一定要對齊窿子，視線才暢通無阻；一片芝士移位，即會功虧一簣。這個比喻可用作形容悲劇的形成，許多「窿子」必須在同一時空連成一線，否則悲劇無法上演。以怒婦斬男友作例。兩個月前，男友月頭花光綜援金，幸好婦人月尾打麻雀才輸錢，兩片芝士雖然有窿，但穿窿出現時差，對唔齊，避過一劫。去月，婦人月頭打麻雀輸光，男友也在月頭「如常」花光綜援金，幸好沒錢買船票回港，滯留澳門，兩片穿窿芝士越洋相隔，又避過一劫。今月，男友領取綜援後拿去清還賭債，抵家時碰巧遇着昨晚打完通宵麻雀輸清光的女友，女友悶氣未消，問男友要錢買早餐不遂，一怒之下衝入廚房拿刀企圖自盡，男友阻止，糾纏間男友中了四刀……

以上只是我的想像，肯定與事實不符，只想道出悲劇豈能歸咎於單一片穿窿芝士，而無視其他穿窿芝士？

溫州動車（高鐵？）意外的起因，豈只官方所言一盞「訊號燈存在缺陷」？（動車還是高鐵？請看文末備註。）

當然，事故還在調查，我等門外漢難以置喙，這裡只能用常識探索一下（假如「常識」在中國適用的話）。兩列不能相撞的列車，假如你是一位盡責的工程師，會只放一盞紅綠燈在它們中間嗎？萬一紅綠燈故障，怎辦？你會設計另一個獨立於紅綠燈的系統，例如那個什麼自動閉塞系統，當列車太接近，後面的列車會自動煞停。假如你真是一位盡責的工程師，你不會就此放心，萬一紅綠燈與自動閉塞系統一同故障，怎辦？你會設計第三個防撞系統，獨立於前二者，三管齊下阻止悲劇發生。一條「安全」的高速鐵路需要多少個獨立運作的防撞系統，我不知道，但以「常識」估計，沒可能少於三個；若有相撞，肯定最少三個系統同時故障或出錯，最少三片穿窿芝士連成一線，紅綠燈頂多是其中一片。


穿窿芝士的比喻不是我發明，是國際上安全事故研究的概念。每項安全措施都是一片芝士，由於人為或技術上的不完美，芝士一定有些「漏洞」，設計應該減少每片芝士的漏洞，及減低漏洞連成一線的機會。當有事故發生，不會只怪責一片穿窿芝士，而會宏觀地研究因何多片穿窿芝士連成一線。

2002 年德國發生兩機空中相撞意外，一架俄羅斯客機，另一架 DHL 貨機，兩者都在海拔 36,000 尺飛行，將以直角交滙。當時晚上大約九時半，航空交通管制員在兩機相遇前一分鐘才發現危險，即令俄羅斯客機下降一千尺。現代航班除了遵從空管人員的指示，機上還裝有一種自動閃避系統，當發現兩機將會相遇，系統會發出警告，指示機師上升或下降，互相閃避。俄羅斯客機遵從空管指示開始下降，機上自動閃避系統卻發出警告，指示盡快攀升，機師信任空管人員，繼續下降，不理自動閃避系統；另邊廂，DHL 貨機沒有接到任何空管指示，理應平飛，但自動閃避系統卻催促機師下降，機師遵從。如果兩機同時遵從自動閃避系統，一升一降，意外可免；如果兩機同時不理自動閃避系統，一降一平飛，意外亦可免。不幸地，兩邊機師各自遵照不同指示來源，一起下降，最終一起下墜。

意外後，機師指引改寫，當自動閃避系統與空管人員的指示相左，應該遵照前者。這堵塞了最表面的漏洞，但調查沒有止於此。為什麼航空交通管制員遲遲才發現兩機相遇？因為他一人兼顧兩個崗位，法例不容許的，但這是管制中心行之有年的做法。為什麼他全神貫注另一空域？因為某航班即將降落，管制員需要致電機場，碰巧管制中心的電話線正進行定期維修，後備電話線又運作不靈。DHL 貨機應自動閃避系統指示下降，機師曾知會管制員，但管制員太專注另一空域，沒有聽見。管制中心有一套獨立的碰撞警示系統，提醒碰撞於未然，此系統當時也在定期維修，關掉。

你看，一次意外，有多少片芝士同時穿咗幾多個窿？一次意外，不是一句「訊號燈存在缺陷」可以概括。當然，多找幾片穿窿芝士，把調查範圍擴闊，或多或少把管理層拖落水，牽涉多廣則視乎政治需要（搞政治不是共產黨的專利）及當事人的「牙力」。

溫州動車（高鐵？）意外最終揪出多少片穿窿芝士，「放長雙眼睇啦」！

---

備註：撞車的是 D301 及 D3115 班次，意外後傳出一種說法，稱「D」字頭是動車（Dong che）不是高鐵，最高時速 200 公里，「G」字頭才是高鐵（Gao tie），時速 300 公里。我非常懷疑，記得京滬高鐵開通時，媒體說過高鐵班次分兩類：「G」字頭時速 300 公里，「D」字頭時速 250 公里；怎麼前言不對後語？特此翻查舊網頁，節錄舊日報導如下，並附上日期以供參考：

2011 年 6 月 28 日文匯報網頁：「……高鐵班次數量更勝一籌，時速 300 公里「G」字頭動車 59 對，時速 250 公里「D」字頭動車 14 對……」

2011 年 6 月 20 日新華網：「……京滬高鐵運營後每天將開行動車組列車 90 對，其中時速 300 公里的“G”字頭動車組 63 對，時速 250 公里“D”字頭的動車組 27 對……」

2011 年 6 月 18 日新浪網：「……武廣高鐵將同時開行時速 300 公里和 250 公里的動車組……300 公里時速運行的動車組車次以“G”字開頭……250 公里時速運行的動車組車次以“D”字開頭……」

2010 年 9 月 17 日新華網：「……武廣高鐵開行的動車組列車由當前最高峰的 63 對增加到 80 對，從而進一步實現高鐵動車組開行的“高密度”、“公交化”……」

可見意外之前，官方早把「高鐵」、「動車」混為一談，意外後才分得清清楚楚。至於「D」字頭何時由 250 公里減速至 200 公里，更是無從稽考。

另一個說法比較可信：事發路段不屬於高速鐵路，最高時速只有 200 公里。我上中國高鐵時刻網查閱 D301 及 D3115 的路線，二者重疊在寧波東站至溫州南站，亦即意外發生的路段，再搜尋途經該段的所有列車，原來只有「D」字頭，沒有「G」字頭。看來這段路軌只供「D」字頭的動車行走，沒有「G」字頭的高鐵，把賬算到「動車」頭上以保「高鐵」清譽，好像說得過去，如果不再尋根問底的話。

（2011 年 8 月 11 日 信報副刊）

日本地震震碎南極冰川

今年 3 月日本地震造成的海嘯，竟使南極 Sulzberger Ice Shelf 一塊 129 平方公里（1.6 個香港島）的冰塊剝離。海嘯到達南極只有一尺高，不斷的拍打使冰層斷開。



Source: Futurity.org

特區區旗惹的禍

匯豐銀行一百元新鈔錯印特區區旗，洋紫荊圖案左右不分，幸得細心市民提點，及時改正。很多人視此為貽笑國際的大笑話，我則認為情有可原，若非這次事件，相信九成以上的市民（包括我）對洋紫荊圖案的方向不甚了了。鈔票設計人及把關人士固有失職，但「罪魁禍首」應是特區區旗這種「好似對稱又其實唔對稱」的設計，「災難」總有一天發生，只看哪位設計者「稍一不慎」。

香港會犯這種錯誤，其他地方也可以。世上哪些國旗屬於「好似對稱又其實唔對稱」，容易犯上左右不分的錯誤呢？

我上英文維基瀏覽現今所有國旗，共 204 面，首先撇除左右對稱的，這些國旗正反面相等，無可能犯錯。餘下不對稱的，如何定義惹人犯錯的「好似對稱」？這裡牽涉主觀判斷，容我簡述篩選過程，然後揭曉我的答案。

首先撇除一些「明顯不對稱」的國旗，中國便是一例，五顆星「瑟縮」一角，永遠靠着旗桿，稍為留神必察覺。主要特徵明顯偏向一方的國旗，明顯不對稱，很難犯錯。美國和澳洲皆屬此類。

丹麥（右圖）、芬蘭等北歐國家愛用「北歐十字」（Scandinavian Cross），垂直那一棟偏向旗桿，此標誌不算罕見，其不對稱亦頗為明顯，不易犯錯。

另一些國家用對角線，如汶萊、不丹、千里達（右圖），在我眼中，此類也屬「明顯不對稱」，剔除。

法國國旗是三根垂直粗條，從旗桿起為藍、白、紅，容不容易左右不分？很難說，但怎也比我們的洋紫荊圖案易分，我認為法國國旗未至於惹人犯錯的「好似對稱」。比利時和意大利皆屬此類。

巴西國旗，如圖所示，「大致」對稱，除了中間那條白帶、白帶上的字和那堆仿照 1889 年 11 月 15 日里約熱內盧天空的星星。根據國旗圖像的慣例，旗桿在左；如匯豐新鈔般把旗桿放在右邊的話，國旗圖案理應左右對調，可是巴西國旗左右對調會衍生一些問題，白帶上的字豈不調轉來寫，看上去太不自然？星星反轉來看，再也不是里約熱內盧的天空，豈不違背了設計的原意？一輪調查後，原來都是杞人憂天，巴西法律早已洞悉這些問題，明文規定「國旗的兩面必須一模一樣，白條左高右低，禁止兩面互為鏡像（forbidden to make one side as a mirror-image of the other）」，即是說，無論從哪一面看，巴西國旗都是一樣，沒有左右對調這回事，匯豐新鈔的錯誤不會在巴西發生。（除非設計師自作聰明把圖案左右對調，那是另一種錯誤了。）

巴西國旗給我兩個啟示。一，文字不應調轉；二，任何調轉看不合理的東西都不應調轉。很多國旗都有盾徽（coat of arms），即是那些左有一隻獨角獸，右有一隻獅子，下有幾根稻草，簇擁着中間一個盾牌的標誌，盾徽就是一種不應調轉看的圖案（右為黑山國旗，盾徽在正中）。我沒法在有限時間內翻查所有不對稱國旗的法例，未能肯定個別國家有否效法巴西清晰闡明國旗正反兩面的處理，因此我作了一個假設：任何有文字或盾徽的國旗正反兩面應該相等，不應互為鏡像，亦即沒有左右對調這回事，匯豐新鈔的錯誤不能發生。此假設未必正確，就此撇除包含文字或盾徽的國旗也許流於武斷，但我還有另一理據。很多盾徽包含文字，反轉的文字極為礙眼，容許文字或盾徽調轉的國旗是為「明顯不對稱」，早應喚起設計師的注意，錯誤也不會發生。

基於以上兩點，包含文字或盾徽的國旗也給剔除。（右為沙地阿拉伯國旗）

伊斯蘭國旗愛用新月標誌，新月的開口向左還是向右？向右。伊斯蘭教徒斷無不知之理，包含新月的國旗也給剔除。（右為馬爾代夫國旗）

還有一些個別情況未能盡錄，運用自己的判斷就是了。餘下五面國旗，我認為與特區區旗那種「好似對稱又其實唔對稱」不相伯仲的，簡直惹人犯錯，鈔票設計師不可不察，將來的國旗設計者最好也避免這種設計。五國分別是：

摩洛哥	埃塞俄比亞
南韓	英國
吉爾吉斯

一圖勝千言，我不多說了，大家咀嚼咀嚼這些左右難分的國旗吧。

P.S.
（一）嚴格來說，埃塞俄比亞國旗那顆星是盾徽，應該被篩掉，再次證明原則不可盲從，判斷力最重要。
（二）差點給英國國旗「跣一鑊」，我由始至終以為它是對稱的，幸好交稿前瞥見案頭舊報紙一幀新聞照，方才驚覺。特區區旗真是承襲了「前朝遺風」。

（2011 年 8 月 4 日 信報副刊）

球跟着影子飛

驟眼看，球好像彈來彈去。試不看影子，注視球的路線，它由始至終走着同一軌跡。這錯覺表明，我們看東西是看 big picture 的，把所有資訊匯集成一幅 coherent 的模型，影子是景觀一部分，影響腦子對景觀的分析是當然的。

此外，看見這隻惹人發笑的狗，給大家笑笑：

做人應該識轉軚

來屆特首選舉已經冒出三位疑似選候人 －－ 甲、乙、丙。某大地產商與甲是世交，支持甲理所當然，但身為精明商人，斷不做蝕本生意，最穩當還是上京探探口風，揣摩揣摩中央意旨，再作部署。一天拜會中央大員，酒席間，二人略帶醉意，地產商從口袋掏出甲、乙、丙三張卡片，攤到桌上，用半鹹不淡的普通話說：「你……不用告訴我誰當特首……只用告訴我……誰當不了特首。」故作搖頭擺腦，假裝醉得厲害。中央大員搖着食指：「用你們香港的說法，你真『鬼馬』！」地產商一笑：「我不是『鬼馬』……我只想知道哪一匹是真的馬，哪一匹是假的馬。」大員笑着，沉默片刻，說：「說給你聽也無妨，他是假的。」指着丙。

回港後，地產商把經過告訴智囊。智囊眉頭一皺：「看來你要轉軚了。」「什麼？」「甲是你的朋友，但乙的贏面較高。」「我不明白，甲乙不是機會均等嗎？」「表面上係，不過……好難解釋，不如我跟你玩個遊戲。」智囊掏出三張撲克牌，攤在桌上：「三張牌之中，有一張係葵扇Ａ，你估邊張？」地產商指一指左邊，智囊一聲不響，翻開中間那一張，說：「你看見了，中間這一張不是葵扇Ａ，現在剩下左、右兩張牌，你原本揀左邊，現在我問你，轉唔轉軚揀右邊？」「唔轉，照揀左邊。」答案揭曉，葵扇Ａ在右，地產商沒有抓緊轉軚機會，怨不得人。

遊戲規則是這樣的，地產商作了選擇之後，智囊翻開另外兩張牌其中一張，但一定不會翻出葵扇Ａ，保持神秘，看地產商轉不轉軚。這遊戲與地產商向中央大員收風的方式不謀而合，大員心知地產商與甲友好，即使甲非「真命天子」，也不會當場道破，正如智囊不會翻開地產商選中的那張撲克牌，只會在其餘二者之中翻開（不是葵扇Ａ的）一張。當然，甲可能是「真命天子」，地產商也可以選中葵扇Ａ，那中央大員便在乙和丙中隨意說一位，智囊也在其餘二張牌中隨意翻一張，再看地產商轉不轉軚。

「一次啫，再嚟過！」地產商不憤，餘下兩張牌分明機會均等，怎可能轉軚贏面較高，玩多幾次便見真章。智囊奉陪，今次地產商仍不轉軚，又錯。如此這般玩了二十鋪，地產商漸漸發覺轉軚好像「有着數」，開始改變策略，智囊忍不住說：「我早已告訴你，應該轉軚的。」最終玩了三十鋪，地產商轉軚十四次，對了八次，成功率 57%；反之，不轉軚十六次，對了五次，成功率 31%。轉軚顯然是最優策略。

地產商不明箇中道理，智囊解釋：「如果一開始選中葵扇Ａ，你應該轉軚嗎？」「不該。」「一開始選中葵扇Ａ的機會多少？」「三分一。」「即是說，有三分一情況你不該轉軚，同意？」「ＯＫ。」「如果一開始選不中葵扇Ａ，你應該轉軚嗎？」「……」「葵扇Ａ係一號，你選了二號，我逼不得已翻開三號，你應該轉軚嗎？」「應該……啩。」「一開始選不中葵扇Ａ的機會多少？」「三分二。」「即是說，有三分二情況你應該轉軚，同意？」「又好似係喎。」「轉軚贏面三分二，不轉軚贏面三分一，你應該考慮放棄你的好朋友。」地產商沉默不語。

§

故事說完，談談情節出處。智囊的撲克牌遊戲是 Monty Hall problem 的變種，Monty Hall 是美國某遊戲節目的主持人，節目裡有三扇門，其中一扇背後藏着大獎，參加者作出猜測之後，Monty Hall 會敞開另外一扇（沒有隱藏大獎的）門，問參加者轉不轉軚（轉軚是上策，可是許多參加者不信）。已故數學家 Martin Gardner 在 1959 年 Scientific American 雜誌也提出 Three Prisoners problem，三位死囚之中，州長赦免一人，死囚甲說服獄卒透露誰不得赦免，以為如此便可提高生存機率（事實上，甲被赦免的機會不變，仍是三分一）。

Monty Hall problem、Three Prisoners problem、智囊的撲克牌遊戲及地產商的收風方法，四者全是同一問題的變種，數學上是相等的。每個處境都有一位「投機者」及「內幕人士」，投機者說：「我買一號。」內幕人士回應：「千萬不要買二號。」內幕人士礙於規則、文化、禮貌等因素不會直接評論投機者的選擇，結果是，三號的勝算即時提高，一號勝算不變。換句話說，二號的勝算給了三號，一號沒有得益。

依然半信半疑的讀者，可以想像智囊與地產商玩一次大規模的撲克遊戲。桌上攤着一百張牌，只有一張葵扇Ａ。地產商說：「我揀呢張。」智囊翻開其餘九十八張（不是葵扇Ａ的）牌，只剩地產商的「心儀目標」和最後一張蓋着，地產商應否轉軚？我是他的話，一定轉軚。

依然不信？最好自己做一做實驗。故事裡撲克遊戲的數據不是虛構，是我與妹妹親身試驗的結果，證明轉軚真正是上策，我才敢寫這篇文章的。

（2011 年 7 月 28 日 信報副刊）

參考：Scientific American